Termodinamiko/Leciono 8: Malsamoj inter versioj

Enhavo forigita Enhavo aldonita
HorSan40 (diskuto | kontribuoj)
HorSan40 (diskuto | kontribuoj)
Linio 449:
 
 
::<math>Q = \alpha S (t_v - t)\,</math>
aŭ(26)
::<math>Q = \alpha S (t - t_v)\,</math>
 
Laŭ la fludirekto oni uzas unu el ĉi tiuj du ekvacioj
Linio 463:
 
 
====La elementaj diferencialaj ekvacioj por varmtransiro====
 
La varmtransiro inter la solida vando jaj fluadĵo estas karakterizita helpe de la fundamentaj diferencialalj ekvacioj de la hidrodinamuiko kaj de la varmtranskonduko en la moviĝanta medio.
La rapideckampo en la ĝeneraliganta formo estas difinita per la ekvacio de la kontinueco:
(27)
 
::<math>\frac{\partial p}{\partial \tau} + div(\rho \overrightarrow{w} ) = 0\,</math>
 
kaj la ekvacio por la movo de Stokes kaj Navier:
(28)
 
::<math>\rho\frac{d\overrightarrow{w}}{ d \tau} = \rho \overrightarrow g - grad\ p + \eta \nabla ^2\overrightarrow{w} + \frac{\eta}{3} div \overrightarrow{w} = 0\,</math>
 
 
ρ – la specifa maso; kg/m3
&tau; – la tempo; s<br>
w – la rapideco de la fluanta medio; m/s – ĝi estas la vektoro<br>
g – la tera akcelo; m/s2 – ĝi estas la vektoro<br>
p – premo
η – la dinamika viskozeco<br>
ρg – la pezoforto de la volumenunuo da fluaĵo
 
Por la nekunpremebla medio la ekvacio (28) plisimpliĝas, ĉar estas:
 
::<math> div\ \overrightarrow{w} = 0\,</math>
laŭ tio validas:
(29)
 
::<math>\rho\frac{d\overrightarrow{w}}{ d \tau} = \rho \overrightarrow g - grad\ p + \eta \nabla ^2\overrightarrow{w} \,</math>
 
Kiam la temperaturoj en du punktoj de la medio diferencas, la proporcio de specifaj masoj egalas en ĉi tiuj unktoj dum la konstanta premo al la sekva esprimo:
 
::<math>\frac{\rho_0}{\rho} = 1 + \gamma(t-t_0) \,</math>
 
kaj post la adapto de ĉi tiu ekvacio estas
 
(30)
::<math> \rho_0 - \rho = \rho \gamma (t-t_0) \,</math>
 
γ – la volumena dilateco; 1/deg
 
Kiam oni obligas la esprimon sur la dekstra flanko de la ekvacio (30) per la terakcelo g ĝi prezentas la malan forton de la levoforto de Archimedes por volumenunuo de fluaĵo:
::<math> \overrightarrow A = - \rho \gamma\overrightarrow g \Delta t \,</math>
 
Post la anstataŭigo en la ekvacio (29) oni ricevas la sekvan formon:
 
(31)
 
::<math>\rho\frac{d\overrightarrow{w}}{ d \tau} = \overrightarrow g (\rho_0-\rho \gamma\Delta t) - grad\ p - \eta \nabla ^2\overrightarrow{w} \,</math>
 
La fundamenta ekvacio por la varmkonduko en la izotropa medio estas esprimita per la ekvacio (9):
(9)
 
::<math> \frac{dt}{ d \tau} = a \nabla ^2t + \frac {Q^x}{c\rho} \,</math>
 
En ĉi tiu ekvacio oni supozas, ke la koeficiento de la varmkondukeco λ estas konstanto kaj la alkondukita varmo en la supozitan volumenon kaŭzita pere de la realigita laboro de la likvaĵo estas neglektebla.
 
Al la menciitaj ekvacioj estas necese ankoraŭ alvicigi la ekvaciojn de fourier kaj Neŭton por la varmfluo en la lima tavolo de la fluaĵo:
 
(2, 32)
 
::<math> q = -\lambda~ grad\ t = \alpha(t_v - t) \,</math>
 
t<sub>v</sub> – la temperaturo de la vando
 
La menciitaj diferencialaj ekvacioj estas dedukitaj el universalaj fizikaj leĝoj, kaj priskribas procezojn en la plej ĝeneraligitaj formoj. Por multegaj procezoj de la varminterŝanĝo ĉi tiuj ekvacioj validas kaj oni povas ilin uzi. Sed oni devas samtempe por ĉiu kazo ankoraŭ konkretigi kondiĉojn, kiuj difinas unusencecon de la procezo:
 
La aro de kondiĉoj konsistas:
 
1. geometriaj kondiĉoj, kiuj karakterizas la formon de supozitaj korpoj kaj iliaj dimensioj;
 
2. el fizikaj kondiĉoj, karakterizantaj fizikajn ecojn de la medio;
 
3. el limkondiĉoj konkretigantaj fizikajn grandojn de procezo sur la limo de diversaj medioj;
 
4. el tempaj kondiĉoj, kiuj karakterizas la ŝanĝiĝoj de la procezo dum iu certa tempintervalo kaj en la dependeco de la tempo.
 
La kondiĉoj povas esti esprimitaj per numeroj, per funkciaj rilatoj aŭ per diferencialaj ekvacioj. La solvo de ĉi tiuj sistemoj de ekvacioj estas tamen en kelkaj kazoj kondiĉita per plisimpligintaj supozoj. Oni ppovas ĉi tion praktike eluzi nur tiam, kiam la plisimpligo malfavore ne influas la rezulto en komparo kun la realeco.
 
Ĉar la elkalkulitaj rezultoj malgraŭ ĉiu alia klopodplene ofte tro diferencas de ia eksperiente konsisitita realeco oni uzas por la solvado de ĉi tiuj malfacilaj taskoj modelajn metodojn. Sur modeloj oni mezuras necesajn fizikajn grandojn, kiujn oni aplikas en teknikaj kalkuloj. Tiel estas ebla atingi sufiĉe precizajn rezultojn, kiuj ne estas tro multekostaj. Sed oni devas ilin ĉiam kompari kun la realeco sur la fabrikita ekipaĵo. Oni tiel povas difini la diferencojn kaj sampempe trovi kaŭzojn, kial ili ekzistas. La diferencoj kaj la kaŭzoj servas por la korektado de la estontaj kalkuloj.
 
 
===La teorio de la simileco por la varminterŝanĝo por la fluado===
 
Oni ofte uzas la eksperimentan metodon metodon bazitan sur la teorio de la simileco, ĉar ĝi donas sufiĉe precizajn rezultojn dedukitajn de malgrandaj ekipaĵoj. Ĝi estas relative malmultekosta. Oftege ĝi eĉ prezentas la solan ebleco por difino de necesaj valoroj por la teknika kalkulado.
 
Oni povas uzi la metodon de la simileco nur kiam oni plenumis la sekvajn kondiĉojn de la obesrvataj procezoj:
 
1. La fizikaj procezoj povas esti konsiderataj kiel simplaj nur tiam, kiam ili estas la procezoj de la sama speco kaj kiam validas por ili la ekvacioj de la sama formo, senco kaj enhavo.
 
2. Por la fizika simileco estas samtempe necesa ankaŭ la simileco geometria, ĉar similaj procezoj realiĝas ĉiam nur en similaj geometriaj kondiĉoj de observataj sistemo.
 
3. Analizante similajn procezojn oni povas kompari nur samspecajn grandojn, kiuj havas la saman fizikan signifon, kaj estas esprimitaj en samaj fizikaj unuoj, kiuj apartenas al simile situataj punktoj en la spaco kaj al korelativaj tempintervaloj.
 
4. La simileco de du fizikaj procezoj signifas la similecon de ĉiuj grandoj, kiuj karakterizas la pripensatan procezon.
 
En similaj sistemoj havas la proporcio de certaj grandoj la saman numeran valoron por ĉiuj korelativaj punktoj de la konsiderataj sistemoj. Oni nomas ilin kriterioj de la simileco. Ili estas sendimensiaj kaj kunmetitaj procezoj. Oni povas ilin difini por ĉiu fizika procezo. La bazo de la similecteorio estas la dependecoj inter unuopaj ŝanĝeblaj grandoj matematike esprimitaj. Tial havas valoron eĉ tiuj diferencialalj ekvacioj, kiuj ne estas integreblaj, ĉar helpe de simileckriterioj oni povas elkalkuli kiun ajn elementon de la pripensata sistemo.
 
Fundamentaj teoremoj de la simileco estas:
 
1. Similaj procezoj havas samajn simileckriteriojn. (Newton)
 
2. La integralon de la diferenciala ekvacio, kiu priskribas la observatan procezon, oni povas esprimi per la funkcio de simileckriterioj deduktitaj el la sama diferenciala ekvacio. Ĉi tiu teoremo devenas de Federman kaj Buekingham
 
3. La prozejoj estas similaj, kiam ili havas similajn kondiĉojn de la unusenceco kaj kiam ĉiuj simileckriterioj, eĉ deduktitaj estas en sia numera valoro la samaj. Ĉi tiu teoremo devenas de Kirpiĉev kaj Guchman.
 
El ĉi tiuj fudamentaj teoremoj rezultas por la praktiko la sekvaj konkludoj:
 
Dum la eksperimento oni devas mezuri ĉiujn grandojn, kiuj difinas la simileckriteriojn de la observata procezo. La rezultojn de la eksperimenta mezurado oni devas esprimi per simileckriterioj kaj difini rilatojn inter unupaj simileckriterioj en la formo de kriteriaj ekvacioj.
 
 
=====La varmproceza simileco=====
 
La varmprocezoa simileco estas ebla nur tiam, kiam la observataj sistemoj estas geometrie kaj mekanike similaj. Por la kompletigo de la varmproceza simileco estas ankoraŭ necesa la simileco de temperaturkampoj kaj de varmfluoj de la menciitaj sistemoj.
 
Du similaj sistemoj de la varmprocezoj estas esprimataj per du samspecaj vicoj de ekvacioj. Ekzample per la ekvacio de la varmkonduko kaj per la ekvacio de la varmfluo estas difinitaj sekvaj vicoj da ekvacioj:
 
::<math> \frac{\partial t}{\partial \tau} \,</math>
 
{{Redaktas}}