(,+), la aro de la entjeroj kun la adicio kiel operacio, estas abela grupo. La neŭtrala elemento estas 0; la inversa elemento de n ∈ estas −n ∈ .
Same ankaŭ (,+) kaj (,+), la aroj de la racionalaj kaj la reelaj nombroj kun la adicio estas abelaj grupoj.
Kontraŭe (,+), la aro de la naturaj nombroj kun la adicio, ne estas grupo, ĉar por a ∈ \{0} la aksiomo G 3 ne estas plenumita.
2.
estas abela grupo. La neŭtrala elemento estas 1, kaj la inversa elemento de estas .
Sed ne estas grupo, ĉar por la elemento 0 ∈ ne ekzistas inversa elemento.
3.
Estu M nemalplena aro kaj S(M) la aro de la permutoj de M, t.e. de la bijekciaj bildigoj de M sur ĝin mem. Ni difinas en S(M) operacion · per sinsekva aplikado de la permutoj:
Por σ, τ estu σ · τ la bildigo
por ĉiuj x ∈ M.
Tiam σ · τ estas bijekcia bildigo de M sur ĝin mem. Ni montras, ke (S(M),·) estas grupo:
Neŭtrala elemento estas la identa bildigo idM : x → x por ĉiu x ∈ M. La inversaj elementoj ekzistas, ĉar bijekciaj bildigoj estas inversigeblaj. La aksiomo de asocieco validas pro
((σ · τ) · ρ)(x) = (σ · τ)(ρ(x)) = σ(τ(ρ(x))) = σ((τ · ρ)(x)) = (σ · (τ · ρ))(x)
Ĝenerale tiu ĉi grupo ne estas abela, kiel montras la sekva ekzemplo sur la aro M = {0,1,2}:
,
,
kie la subaj elementoj estas la bildoj de la supraj. Notu, ke ni aplikas unue la dekstran permuton.
