Fundamentoj de lineara algebro/p. 07

Ekzemploj de grupoj

redakti
1. ( ,+), la aro de la entjeroj kun la adicio kiel operacio, estas abela grupo. La neŭtrala elemento estas 0; la inversa elemento de n ∈   estas −n ∈  .

Same ankaŭ ( ,+) kaj ( ,+), la aroj de la racionalaj kaj la reelaj nombroj kun la adicio estas abelaj grupoj.

Kontraŭe ( ,+), la aro de la naturaj nombroj kun la adicio, ne estas grupo, ĉar por a ∈  \{0} la aksiomo G 3 ne estas plenumita.

2.   estas abela grupo. La neŭtrala elemento estas 1, kaj la inversa elemento de   estas  .

Sed   ne estas grupo, ĉar por la elemento 0 ∈   ne ekzistas inversa elemento.

3. Estu M nemalplena aro kaj S(M) la aro de la permutoj de M, t.e. de la bijekciaj bildigoj de M sur ĝin mem. Ni difinas en S(M) operacion · per sinsekva aplikado de la permutoj:

Por σ, τ estu σ · τ la bildigo

  por ĉiuj x ∈ M.

Tiam σ · τ estas bijekcia bildigo de M sur ĝin mem. Ni montras, ke (S(M),·) estas grupo:
Neŭtrala elemento estas la identa bildigo idM : x → x por ĉiu x ∈ M. La inversaj elementoj ekzistas, ĉar bijekciaj bildigoj estas inversigeblaj. La aksiomo de asocieco validas pro
((σ · τ) · ρ)(x) = (σ · τ)(ρ(x)) = σ(τ(ρ(x))) = σ((τ · ρ)(x)) = (σ · (τ · ρ))(x)
Ĝenerale tiu ĉi grupo ne estas abela, kiel montras la sekva ekzemplo sur la aro M = {0,1,2}:

 ,


 ,

kie la subaj elementoj estas la bildoj de la supraj. Notu, ke ni aplikas unue la dekstran permuton.

<<   7   >>