Relativa Divideblo/Ĉapitro 1 – Senco kaj celo

El la numeraro gravas la primoj, ĉar pro la ne-divideblo ili rolas kvazaŭ numeraj brikoj. Numeroj kun la kontraŭa eco, kun alta divideblo, ankaŭ gravas, ĉar ili povas plenumi rolon de „unuo“.

La BABILONanoj certe elektis siajn gravajn numerojn 60 kaj 360 pro tio ke 60 = horo/minuto = minuto/sekundo kaj ili prenis 1/360 de „plena gono“ aŭ „plengono“ kiel malgrandan gon-unuon, kun la nomo „Babilona grado“ (°). (Mi elektas kiel mallongigon de „ebena angulo“ la mallongan fakvorton „gono“. Pensu pri gon-ometrio kaj tri-gono-etrio).

Sed kiel difini „alta divideblo“ ? Ekz. la modere granda numero 1000 = {3 0 3 } havas 14 faktajn divizorojn, do pli ol.60, kiu havas nur 10 da ili. Ĉu do 1000 estas pli dividebla ol 60?

Mi proponas distingi inter Dividebloj Absoluta kaj Relativa. Absoluta Divideblo de iu numero N estu sinonima kun la nombro da faktaj divizoroj de N, do de D(N). Sed la multe pli granda 1000 kompreneble pli probablas, havi multajn divizorojn, do tial ĝi havas malpli da „dividebla merito“. Kaj krome la utilo de multe pli granda numero por la rolo de Unuo rapide malkreskas kun la kresko de la numero N. Ekz. se N = bazo B de cifero-pozicia notacio, la multiplika tabelo de tiu notacio havas ½*(B-1)*(B-2) diversajn parkerigendajn (aŭ tabuligendajn) rezultojn. „Nia nuna“ Bazo 10 havas nur 36 tiajn parkerigendajn rezultojn, B=12 jam 55, B=60 jam 1711 , kaj B=1000 eĉ 498 501, preskaŭ duonan milionon!

Tial mi akiris la ideon, distingi Divideblojn de Numeroj inter Absolutaj kaj Relativaj. Absolutan Divideblon de N mi difinis per

Dif 13: Absoluta Divideblo de N = D(N).

(Ekzistas ankaŭ bonaj argumentoj, difini „Absoluta Divideblon“ alimaniere, ekz. per la nombro da eblaj faktorizoj, sed la algoritmo, formularoj, por destini D(N), estas multe pli simpla ol estus la algoritmoj por destini tiajn ceterajn sencajn difinojn por „Absoluta Dvideblo“)

Dif 14: RELativa DivideblO de N, mallonge RELDO(N), estu la Absoluta Divideblo de N, rilatigita taŭge kun la grando (valoro) de N mem. Tiu frazo mem estas fakte neniel matematika difino. Ja ties preciza signifo dependas ankaŭ de tiu „taŭga rilat(ig)o“. La cetero de tiu ĉi ĉapitro temas precize pri tio.

Verŝajne la plej simplan kaj plej taŭgan rilatigon nocion liveras la bildoj de Rekord(ant)o kaj ripetanto.

Ekz. D(60) = 10, tion kelkaj jam sentas relative alta rezulto por tiel modeste granda numero. Kaj efektive, 60 estas la unua numero kun tiom da faktaj Divizoroj. Se oni interpretas la numer-grandon kiel pasantan tempon kaj la kvanton de ties faktaj Divizoroj kiel sportivan atingaĵon, oni alvokas la bildon de sporto kun rekordoj, ĉiam novaj rekordoj.

Ja la antaŭe plej granda D(N) estas 8 de N=48. Kaj la Sekva plej granda D estas 14 : D(120) = 14. Tial 60 estas Rekordanto, kion mi mallonge notas R-o kaj 120 estas la sekva Rekordanto de 60. Tian sinsekvan paron de Rekordantoj mi nomos R kaj R‘.

72 havas ankaŭ 10 faktajn divizorojn, same multajn kiom 60. Do 72 ne estas nova Rekordanto sed (rekordo-)ripetanto de 60, nome la unua. 72 mi nomos mallonge r1 de 60...r1, ĉar 60 havas pluajn ripetantojn, nome 5. Ilin mi nomos r1, r2, r3, r4, r5, pli precize 60ri kun i = 1,2,3,4, 5. r1 de 60 = 72.

Estonte R signu la valoron de iu Rekordanto kaj R-o la mallongigon de la fakvorto „Rekordanto“ . Same pri r kaj r-o.

Difinaro 15: Se N havas pli da divizoroj ol ĉiuj antaŭaj (malpli grandaj) numeroj., N estas R-o. Aŭ „per negativa“ teksto:

Se ekzistas x < N sed kun D(x) >= D(N), N NE povas esti R-o

Se N havas same multajn divizorojn kiom almenaŭ unu antaŭa numero kaj pli da divizooroj ol ĉiuj ceteraj antaŭaj numeroj, N estas r-o.

Difinaro 16: R‘ signifas la unuan R post R, (do ties sekvanto).

(Q (R) = R‘ / R kaj (u(R) = r1 / R

Se x kaj y estas numeroj, D(x * y) certe > D(x) kaj > D(y). Tio same validas pri ties Doj, la faktaj divizor-nombroj. Tial do validas ankaŭ D(2‘N) > D(N) kaj D(2*N) > D(N). Kaj el tio sekvas

TEOREMaro 4: R‘ =< 2*R kaj do 1 < u(R) < Q(R) =< 2. Kaj el tio sekvas la grava teoremo, ke ekzistas nefinio da R-oj.

Kiel trovi la R-ojn? Nu, faru tabulon de la vico de ĉiuj numeroj kun ties D, kaj de tiu tabulo legeblas tuj kiuj numeroj estas R-oj kaj kiuj r-oj. Klaras ke la „klaso“ de la R-oj estas la plej alta klaso de RELDO kaj la klaso de la r-oj la dua plej alta klaso. Se mi tial volas trovi nur tiujn numerojn, la R.ojn kaj la r-ojn, tiu tabulo pri la tuta vico de numeroj estas tre malekonomia algoritmo. Sekvos poste algoritmo pli ekonomia, kiu produktas nur la la R-ojn kaj r-ojn.

Tiuj montras ke ekzistas R-oj kun Q=2. Ekz. 6 kaj 12.

Dif 17: Tiajn R-ojn mi nomos plejaj R-oj aŭ Plej-(Rekordant)oj

La R-oj tiel gravas ke mi numerizos ilin.

R1	r1	r2	R2	r1	r2	R3	r	R4	R5	R6
6	8	10	12	18	20	24	30	36	48	60
2			2			3/2		4/3	5/4	?	Q(R)
	4/3			3/2			5/4				u(R)

Jen, tia tabelo de nur la R-oj kaj r-oj, ĝiskun 60. La tria vico indikas la Q-ojn de la R-oj kaj la kvara la u(R) = r1/R.

6 kaj 12 estas R-oj plejaj, 24 R-o eminenta, 36 kaj 48 estas R°-oj. 6 kaj 12 havas po du r-ojn, 24 nur unu kaj 36 kaj 48 havas tute ne r-ojn.

La RELDO de la R-oj dependas de ties Q-oj. Ju pli alta la Q de iu R, despli alta ties RELDO estas. Jam montriĝis ke por ĉiu Q validas 1 < Q <= 2.

Dif 18: R-ojn kun Q = 3/2, mi nomas R-oj Eminentaj.

La plej alta RELDO-klaso do estas tiu de la R-oj kaj la dua plej alta tiu de la r-oj. La klasoj povas ankaŭ havi subklasojn. La plej altaj subklasoj de la klaso de la R-oj estas tiu de la plejaj-, la eminentaj- kaj la ceteraj R-oj.

Difinaro 19: De la klaso de la r-oj estas la plej alta subklaso tiu de la r1-oj. Sekvas la subklaso de la r-oj kiuj estas la nuraj de la koncerna R-o, kaj tiu de la ceteraj r-oj.

Ekzistas nefinio da numeroj. Ties sub-vico de la primoj kaj de la R-oj estas ankaŭ nefiniaj. Al mi stariĝis la (ne)finio-demandoj pri la vicoj de la R-oj plejaj, de la R-oj eminentaj, de la ceteraj R-oj, de la r-oj. Nur al la unuaj du de tiuj demandoj mi trovis la respondojn. Tiuj poste traktiĝos. La du ceterajn (ne)finio-demandojn mi ĝis nun ne povis respondi kaj do devas transdoni ties esploron al la legantoj.

Ceteraj klasoj

Difinaro 20:

La plej malalta klaso de RELDO estas komprenebla tiu de la Primoj (P) kun D=0. Kaj la dua plej malalta estas tiu de la preskaŭ-Primoj (pP), t.e. la kvadratoj de la Primoj kies D ja = 1. La unuaj 4 pP-oj estas 4, 9, 25, 49.

La tria plej alta klaso estas tiu de la post-R-oj, R+.

R+-o estas numero kiu sen la R-o tuj antaŭ ĝi estus mem R-o. Ekz. la unua R+ estas 16 kun D = 3. Sen la R-o 12 kun ja D=4 ĝi estus R-o. Tiu klaso estas la plej malofta (maldensa). Kiu estas la sekva R+, leganto?

Poste en la malkreska hierarĥio estas la klaso de la post-r-oj aŭ r+-oj. Tia estas numero kiu estUS r-o sen la tuj antaŭa R-o. La unuaj 4 tiaj estas 14, 15, 21, 22.

Ĉiuj ceteraj numeroj konsistigas la klason de la „ceterantoj“ aŭ c. Tiu klaso estas la plej ofta. Sed : Kiu Numero estas la unua c-o?

Resume la hierarĥio de la 7 RELDO-klasoj : P , pP , c , r+ , R+ , r , R. Klaras ke la plej alta klaso, tiu de la R-oj, estas la plej interesa kaj do grava. Ankaŭ grav(et)as la klaso de la r-oj.

Ĉiuj tiuj klasoj aperas ĉe la 25-numer-vico ekde 12 ĝiskun R4 = 36. La leganto konvinku sin pri tio.

La klaso-rubrikigon mi komencas ĉe la 3-a Primo 5. La unuaj 4 numeroj ja estas tro specialaj, por sence klasifiki ilin. Ja:

• 1 estas la unua numero kaj la nura kiu estas nek Primo, nek fakta produto.
• 2 estas la unua Primo kaj la nure para.
• 3 estas la unua nepara Primo.
• 4 estas la unua fakta produto

(Konvinkiĝu ke ili ĉiuj apartenus al pli ol unu klaso.)