|
La radiado de la gasoj<br>
====La unua teoremo termodinamika====
La unua termodnamika teoremo esprimas la principon pri la konservado de energio.
La varmo estas la speco de enerio kaj tial post ĉiu ŝanĝo de la varmo en la laboron egalas la malgajno de la varmo al la gajnita laboro.
(Nuntempe kaj la varmo kaj la laboro mezuriĝas en J. Pli frue por ĉi tiu samvaloreco validis la sekvaj rilatoj:
1 cal = 4,1868 J <br>1 kcal = 4186,8 J
1 J =
= 0,2389 cal <br>
1 kJ =
0.2389 kcal <br>
Post la mola ŝanĝo la ekestinta varmo egalas al la pereigita laboro aŭ al la malgajno de iu alia energispeco.
Matemetike oni povas ĉi tiun teoremon esprimi jene:
::<math>U - U_0 = Q + A \,</math>
U0 – la komenca ena energio, J<br>
U – la fina ena energio, J<br>
Q – la aldonita varmo, J<br>
A – la aldonita laboro, J
La diferenco de enaj energioj U – <math>U_0 </math> estas indikita en [J]
La ena energio estas la funkcio de stataj grandoj, kaj ĝi mem estas la stata grando. Tial la entuta sumo de eldonita aŭ aldonita varmo kaj laboro estas en rilato nur al la komenca kaj al la fina stataoj de la ena enrgio. Ĝi tute ne dependas de maniero, laŭ kiu la ŝanĝo inter ambaŭ statoj okazis.
Kiam estas la diferenco U – <math>U_0 </math> = 0 tiam ŝanĝos la tuta varmo en la laboron, aŭ male – la tuta laboro en la varmon. Tio estas la ekstrema kazo.
La valideco de Q = -A, kiam estas U – <math>U_0 </math> = 0, aŭ memkompreneble la valideco de la ekvacio U – <math>U_0 </math> = Q + A harmonias kun la realeco kaj tiel ankaŭ kun la principo pri la energikonservo. Ĝi samtempe neas la eblecon de gajno de iu ajn energispeco senfonte aŭ senkompence. Tiel estas ankaŭ la ebleco de “perpetum mobile” (senĉese moviĝanta aparato – senĉesa moviĝilo).
─── ● ───
Oni povas la ekvacion esprimantan rilaton inter grandoj laŭ la unua termodinamika teoremo skribi ankaŭ jene:
(46a)
::<math>dQ = dU + dA \,</math>
aŭ por la multo da 1 kg:
(46b)
::<math>dq = du + da \,</math>
+du – la pligrandiĝo de la ena energio
- du – la plimalgrandiĝo de la ena energio.
La ena energio konsistas de la ena potenciala energio.
La ena kinetika energio estas la kinetika energio de molekukoj de la gaso kiuj estas en daŭra proceda kaj rotacia movado, kaj la kinetika energio de la atomoj, kiuj oscilas. Ĝi dependas de la stato de gaso difinita per la premo kaj temperaturo.
La ena potenciala energio estas difinita per koheraj forrtoj inter la molekuloj kaj atomoj. Ankaŭ ĝi dependas de la stato de gaso kaj precipe de la specifa volumeno dum la certa kaj donita temperaturo.
La ena energio konsistas de la ena potenciala energio.
La ena kinetika energio estas la kinetika energio de molekukoj de la gaso kiuj estas en daŭra proceda kaj rotacia movado, kaj la kinetika energio de la atomoj, kiuj oscilas. Ĝi dependas de la stato de gaso difinita per la premo kaj temperaturo.
La ena potenciala energio estas difinita per koheraj forrtoj inter la molekuloj kaj atomoj. Ankaŭ ĝi dependas de la stato de gaso kaj precipe de la specifa volumeno dum la certa kaj donita temperaturo.
Tial estas:
(47)
::<math> du = du_p + du_k \,</math>
up – la ena potenciala energio<br>
uk – la ena kinetika energio
Por la ideala gaso estas dup = 0, ĉar la difino de ideala gaso ne konsideras iujn ajn koherajn fortojn inter elementaj maseroj.
Do, la ena energio estas la funkcio de stataj grandoj:
(48)
::<math> u = f(p,v,T) \,</math>
Tial ĝi mem estas la stata grando ne dependanta de la karaktero de stata aliiĝo.
[[dosiero:Pv_ena_energio.GIF]]
La sama validas por la diferenco u2 – u1.
El tri fundamentaj stataj grandoj p,v, T estas du nedepende ŝanĝeblaj. Tiel la enan energion u difinas unu el tri sekvaj ekvaciaj rilatoj:
(49)
::<math> u = f_1(p,v) \,</math>
::<math> u = f_2(v,T) \,</math>
::<math> u = f_3(p,T) \,</math>
El dependeco de la ena energio al la stataj grandoj rezultas, ke “du” estas totala diferencialo:
::<math> du = \left( \frac {\partial u}{\partial p}\right)_v dp + \left( \frac {\partial u}{\partial v}\right)_p dv \,</math>
::<math> du = \left( \frac {\partial u}{\partial T}\right)_p dT + \left( \frac {\partial u}{\partial v}\right)_p dv \,</math>
::<math> du = \left( \frac {\partial u}{\partial T}\right)_p dT + \left( \frac {\partial u}{\partial p}\right)_T dp \,</math>
La rilatoj esence plisimpliĝos por idealaj gasoj. Por ili dup = 0, koherajn fortojn inter la molekuloj oni ne supozas. Oni konsideras la volumenon de molekuloj kiel nulan, kaj tial la premo dum la konstanta volumeno dependas nur de la temperaturo.
El tri stataj grandoj restas nur unu sendepende ŝanĝigebla – kaj tio estas la temperaturo. La ekvacioj (48) plisimpliĝas jene:
51)
::<math> u = f(T) \,</math>
En la kazo, kiam oni alkondukas la varmon dq dum la konstanta volumeno (v=konst), tiam da = p•dv = 0, kaj la tuta varmo transformiĝas en la plialtigo de la ena energio.
Por la ideala gaso validas:
::<math> v = konst \,</math>
::<math> u_0 = 0 \,</math>
::<math> dv = 0 \,</math>
:::::<math> dq = du \,</math>
:::::<math> dq = c_vdT\,</math>
(52)
::<math> q_{1,2} = \Delta u = c_v(T_2-T_1)=c_v(t_2-t_1) \,</math>
La ŝanĝiĝo de la ena energio egalas al la varmo, kiun oni alkondukas al la ideala gaso dum ĝia konstanta volumeno, plivarmiginte ĝin en temperatura intervalo Δt.
La rilato plisimpliĝas post la elekto de la eka temperaturo je 0 oC jene:
::<math> v = konst \,</math>
::<math> t_0 = 0 \,</math>
::<math> u_0 = 0 \,</math>
(53)
:::::<math> u - u_0 = c_v(_2-t_1) \,</math>
:::::::<math> u = c_vt \,</math>
Kaj tiam la ekvacio (46b) ricevas la formon:
:::::<math>dq = du + da \,</math>
::<math> dq = 0 \,</math>
:::::<math>da = -du \,</math>
::<math>du + da = 0 \,</math>
(54)
:::::<math>a_{1,2} = u_1 - u_2 \,</math>
─── ● ───
La fundamenta ekvacio esprimanta la unuan termodinamikan teoremon (46b)
:::::<math>dq = du + da \,</math>
povas havi ĉi tiun formon:
(55)
::<math>dq = du + pdv \,</math>
aŭ
(55a)
::<math>dq = c_vdT + pdv \,</math>
Sed ĝi povas havi ankoraŭ unu forman, kiam oni anstatŭas en la ekvacio (55a) la produkton p•dv el la diferencigita stata ekvacio
::<math>pv = rT \,</math>
::<math>pdv + vdT = rdT \,</math>
:::::<math>dq = c_vdT + rdT - vdp \,</math>
::<math>pdv = rdT - vdT \,</math>
kaj oni ricevas:
(56)
:::::<math>dq = c_pdT - vdp \,</math>
─── ● ───
La unuan termodinamikan teoremon oni povas formuli kelkmaniere. Ĉiu formulo esprimas ian aparatan econ de la leĝo pri la energikonservado. Oni uzas plej ofte ĉi tiujn formulojn:
1) La varmo kaj la laboro estas reciproke samvaloraj (ekvailalentaj).<br>
2) La energio de izolita sistemo estas konstanta kaj dum tempo neŝanĝema.<br>
3) La varmo alkondukita al la izolita sisitemo egalas al la plialtigo de ena energio kaj de volumena laboro, efektivita per ĉi tiu sistemo.<br>
4) La konstruo de “perpetum mobile” (senĉesa moviĝilo) de unua ordo ne estas ebla. Oni ne povas konstrui maŝinon kiu kapablas plimultigi energion de izolita sistemo.<br>
5) “du” estas la totala diferencialo de la ena energi.<br>
─── ● ───
=====Entalpio=====
En varmmaŝinoj oni gajnas daŭre laboron el enkondukita labormaterio. Tio okazas ekzemple en varmturbinoj el vaporo aŭ el bruligaĵoj.
[[dosiero:Entalpio.GIF]]
estu du provizujoj kunligitaj trans motoro M unu kun la alia. En la ujoj estas piŝtoj kun areoj S1 kaj S2.
El la provizujo I. estas labormaterio havanta premon p1 kaj temperaturon T1. Ĝi estas alkondukata en la motoron M por ĉi tie efektivigi la laboron At. Ĝi enfluas poste la provizujon II., kie daŭre estas la premo p2 kaj la temperaturo T2. La tuta sistemo estas izolita kontraŭ la ĉirkuaĵo. Tial la varmperdoj estas dQ = 0. Kiam la motoron trafluas 1 kg da labormaterio, tiam ŝoviĝas la pisto de areo S1 en la provizujo I. je la varmdimensio l1 en la motoro M efektiviĝas la laboro At kaj en la provizujo II. ŝovoĝas la piŝto de areo S2 je vojdimensio l2.
Laŭ la leĝo pri la energikonservado estas la ŝanĝo de ena energio en ĉi tiu izolita sistemo egalas al la sumo de alkondukitaj energioj. (Ĝi estas nulo.) Dum ĉiu laborprocezo oni devas aldoni novan labormaterion m en la provizujon I. Ĉi tio okazas kontraŭ la premo p1, kiu daŭre estas en la provizujo I. Tiel oni aldonas la laboron S2 p2 l2 = p2V2. Ĉiuj ŝanĝoj en ĉi tiu izolita sistemo povas realigi nur malprofite de la ena energio de la sistemo. Tal validas la sekvaj rilatoj:
(57)
::<math>U_1 - U_2 = A_t+p_2V_2 - p_1V_1 \,</math>
(58a)
::<math>A_t = (U_1 + p_1V_1) - (U_2+p_2V_2) \,</math>
(58b)
::<math>A_t = (J_1 -J_2 ) \,</math>
La sumo en la krampeto estas:
(59)
::<math>J = U + pV \,</math>
kaj por 1 kg da labormaterio:
(60)
::<math>i = u + pV \,</math>
Oni nomas ĉi tiun grandon – entalpio.
Unu kilogramo da gaso efektivigas en la motoro M ĉi tiun teknikan laboron:
(61)
::<math>a_t =i_1 - i_2 \,</math>
i1 – entalpio de labormaterio ĉe la eniro de motoro, kJ/kg<br>
i2 – entalpio de labormaterio ĉe la eliro de motoro, kJ/kg
La efektivigita teknika laboro egalas al la diferenco de la entalpioj de la entalpioj de labormaterioj inter komenco kaj fino de laborprocezo en varmmaŝino.
La laboro tiamaniere gajnita estas ankaŭ nomata la daŭra laboro, ĉar ĝi povas esti daŭre gajnata el al maŝino, kiam oni aldonas al ĝi novajn kvantojn da labormaterio. Kontraŭe, la volumena laboro:
::<math>a_{1,2} =(u_1 - u_2 ) \,</math>
estas gajnita nur unufoje malprofite de la ena energio.
La entalpio dependas de la ena energio u kaj de la produto p•v. Ambaŭ valoroj de la produto estas stataj funkcioj. Tiel ankaŭ la aliiĝo de entalpio ne dependas de la vojo de procezo, sed nur de la komenca kaj fina statoj de labormaterio, kiu estas difinita de stataj grandoj – p,v,T (fundamentaj stataj grandoj), eventuale u.
La aliiĝo de entalpio du estas la totala diferencialo. Por ĝi validas similaj kiel por u.
::<math> i = f_1(p,v) \,</math>
::<math> i = f_2(v,T) \,</math>
::<math> i = f_3(p,T) \,</math>
::<math> di = \left( \frac {\partial 1}{\partial p}\right)_v dp + \left( \frac {\partial i}{\partial v}\right)_p dv \,</math>
::<math> di = \left( \frac {\partial i}{\partial T}\right)_p dT + \left( \frac {\partial i}{\partial v}\right)_p dv \,</math>
::<math> di = \left( \frac {\partial i}{\partial T}\right)_p dT + \left( \frac {\partial i}{\partial p}\right)_T dp \,</math>
Kiam oni anstataŭigas la valoron di el la derivita i = u + pv en la ekvacion de la unua termodinamika teoremo
(55)
::<math>dq = du + pdv \,</math>
estas post la anstataŭigo:
::<math>di = du + pdv + vdp \,</math>
::<math>di - vdp = du + pdv \,</math>
(63)
::<math>dq = di - vdp \,</math>
kaj post la integrado:
(63a)
::<math>q_{1,2} =i_2 - i_1 - \int_{p_1}^{p_2} vdp \,</math>
Post la kamparo de la ekvacioj (63) kaj (56)
(63)
::<math>dq = di - vdp \,</math>
(56)
::<math>dq = c_pdT - vdp \,</math>
resultas la sekva ekvacio:
(64)
::<math> di = c_pdT \,</math>
Kiam oni aldonas la varmon al la ideala gaso dum la konstanta premo, la ekvacio (63) plisimpliĝas jene:
::<math>p = konst \,</math>
::<math> dp = 0 \,</math>
:::::<math>dq = di - vdp \,</math>
:::::<math>dq = di = c_pdT \,</math>
(65)
::<math>q_{1,2} =i_2 - i_1 = c_p(T_2-T_1) = c_p(t_2-t_1) \,</math>
Do, la entalpio estas la varmo aldonita al 1 kg da ideala gaso dum la konstanta premo por la varmigo ek de la temperaturo T1 al la temperaturo T2.
Oni kutime elektas kiel fundamentan kaj ekan entalpion la entalpion apartenantan el la temperaturo 0 oC kaj al la premo 1 bar. Oni ne bezonas koni la absolutan entalpion. En ĉi tiu kazo ĉiuj ekvacio plisimpliĝas:
i0 = 0 – dum la temperaturo 0 oC kaj la premo 1 bar <br>
t0 = 0 oC
::<math>i - i_v = c_p(t-t_0) = q \,</math>
Tial estas:
(65a)
::<math>i = c_pt \,</math>
=====La bildigo de procezoj en p – v diagramo=====
<b><i>1) Volumena laboro</i></b>
::<math>dq = 0 \,</math>
::<math>a{1,2} =u_1 - u_2 = \int_1^2 pdv \,</math>
[[Dosiero:Volumena_laboro.GIF]]
La areo 1-2-c-d reprezentas la volumenan laboron.
<b><i>1) 2) Teknika laboro</i></b>
::<math>dq = 0 \,</math>
::<math>a_t =i_1 - i_2 = \int_1^2 vpd \,</math>
[[Dosiero:Teknika_laboro.GIF]]
La areo 1-2-b-a reprezentas la teknikan laboron.
- - -
=====Inversaj kaj neinversaj procezoj=====
Oni dividas la termodinamikajn procezojn en du grupojn:
1) la unua enhavas inversajn procezojn<br>
2) la dua enhavas neinversajn procezojn.
<b>La inversaj procezoj</b>
La iversa ŝanĝo estas tia procezo, en kiu la sisitemo transpasas nur ekvilibrajn statojn. La procezo efektiviĝas senfine malrapide. La gaso estas sen ena kaj ekstera frotado.
La materio estas en ekvilibra stato, kiam estas en ĉiu loko de ĝia volumeno la sama premo kaj la sama temperaturo. Oni memkompreneble eligas la bruladon, ĉar dum la brulado la materio substance ŝanĝiĝas. C’i tiu procezo apartenas al sfero de kemio.
Post la plenumiĝo de ĉi tiuj kondiĉoj povas la inversa procezoj – en abmaŭ direkto – efektiviĝi. Dum la rea procezo trapasas la materio la samajn al sia komenca kaj eka statoj.
La neinversaj procezoj
Realaj gasoj, kies unuopaj maseroj interfrotiĝas, povas efektivigi nur neinversajn procezojn. La gasa labormaterio ne trapasas ekvilibrajn statojn. Ja, ĉiu procezo okazas nur tiam, kiam la materio volas atingi ekvilibrecon. Tial oni ne povas por ĉi tiuj procezoj de realaj gasoj uzi la statan ekvacion. La materio ne revenas al sia komenca stato sed ĝi emas atingi ion daŭran ekvilibran staton forlasante sian neekvilibrecon.
Fundamentaj inversaj procezoj de ideala gaso
La termodinamikaj procezoj estas la stataliĝoj de la gaso, kiu estas kaŭzitaj per la alkonduko aŭ forkonduko de energio al la gaso.
La fundamentaj termodinamikaj procezoj de ideala gaso estas tiaj aliiĝoj, kiuj limigas tutajn aliiĝzonojn indikante ilin per siaj ekstremaj ecoj.
La fundamentaj termodinamikaj procezoj estas:
1) la izoĥora procezo – procezo dum la konstanta volumeno (samvolumena procezo)
2) izobara procezo – procezo dum la konstanta premo (samprema procezo)
3) la izoterma procezo – procezo dum la konstanta temperaturo (samtemperatura procezo)
4) la adiabata procezo – procezo sen iu alkonduko aŭ forkonduko de la varmo (senvarminterŝanĝa procezo)
5) la politropa procezo – procezo difinita per la rilato: pvn = konst.
<i><b>1) La izoĥora procezo</i></b>
La izoĥora procezo okazas, kiam oni alkondukas aŭ forkondukas la varmon al la gaso dum ĝia konstanta volumeno.
::<math>v = konst \,</math>
::<math>dv= 0 \,</math>
[[Dosiero:Izohora_procezo.GIF]]
Laŭ la stata ekvacio pv = rT validas:
::<math>p_1v_1 = rT_1 \qquad \,</math> - por la komenca stato
::<math>p_2v_2 = rT_2 \qquad \,</math> - por la fina stato
(66)
::::<math>\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1} \,</math>
Dum la izoĥora procezo estas la premo proporcia al la absoluta temperaturo. La alkondukita varmo estas:
::<math>dq = du + pdv \qquad \,</math>
::<math>dv = 0 \,</math>
::<math>dq = du = c_vdT \,</math>
(67)
::<math>q_{1,2} = c_v(T_2 - T_1) = c_v(t_2 - t_1) =u_2 - u_1 \,</math>
La alkondukita varmo plialtigas la enan energion de gaso.
La volumena laboro dum la izoĥora procezo ne efektiviĝas – ĝi ne ekzistas:
::<math>da_v = pdv \qquad \qquad v = konst \,</math>
::<math>a_{1,2} = \int_{v_1}^{v_2}pdv \qquad dv = 0 \,</math>
::<math>a_{v_{1,2}} = 0 \,</math>
av – la volumena laboro
<i><b>2) La izobara procezo</i></b>
La izobara procezo okazas, kiam oni alkondukas aŭ forkondukas la varmon al la gaso dum ĝia konstanta premo.
[[Dosiero:Izobara_procezo.GIF]]
El al stata ekvacio validas ĉi tiu rilato:
::<math>p = konst \,</math>
::<math>p_1 = p_2 = p \,</math>
::<math>p_1v_1 = rT_1 \qquad \,</math> - por la komenca stato
::<math>p_2v_2 = rT_2 \qquad \,</math> - por la fina stato
(68)
::::<math>\frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1} \,</math>
Dum la izobara procezo estas la volumeno proporcia al la temperaturo. Oni povas ankaŭ ĉi tiu rilaton esprimi jene:
::<math>v = \frac{1}{\rho} = \frac{T_2}{T_1} \,</math>
v – la volumeno de 1 kg da gazo [m3/kg]<br>
ρ – la specifa maso de gaso [kg/m3]
(68a)
::<math> \frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{T_2}{T_1} \,</math>
La specifaj masoj de gaso estas malrekte proporciaj al la absolutaj temperaturoj dum la izobara procezo.
La volumena laboro dum la izobara procezo estas:
(69)
::<math> a_{v_{1,2}} = \int_{v_1}^{v_2} pdv = p\int_{v_1}^{v_2} dv = p(V_2 - V_1) \,</math>
Kiam oni anstataŭigas en ĉi tiu resulto la esprimon <b>pv </b>pere de esprimo rT laŭ la stata ekvacio oni ekhavas jenan formon:
::<math> a_{v_{1,2}} = r(T_2-T_1) \,</math>
Por la plivarmigo de la diferenco je 1 oC validas:
::<math> a_v = r \,</math>
Laŭ ĉi tiu ekvacio la gasa konstanto r egalas la volumena laboro kiu efektivigas 1 kg da gaso plivarmigita je unu grado de Celsius dum la konstanta premo:
Laŭ la ekvacio esprimanta la rilatojn de la unua termodinamika teoremo validas:
::<math>p = konst \qquad \quad \qquad dq = c_v(dT + pdv) \,</math>
::<math>dp = 0 \qquad \qquad \quad \qquad dq = c_vdT + rdT \,</math>
::<math>pdv + vdp = rdT \qquad dq = (c_v + r)dT \,</math>
::<math>pdv = rdT \quad \qquad \qquad dq = c_p dT \,</math>
::::::::::<math>dq = di \,</math>
(70)
::<math>q_{1,2} = c_p(T_2 - T_1) = i_2 - i_1 \,</math>
La tuta varmo por la plivarmigo de m kg da gaso estas:
(70a)
::<math>Q_{1,2} = mc_p(T_2 - T_1) = m( i_2 - i_1) = J_2 - J_1 \,</math>
La ekvacio vidigas, ke la alkondukita varmo dum konstanta premo plialtiĝas la entalpion de gaso.
La izobara procezo troviĝas en praktiko ekzample en kaldrono dum varmigo de akvo, dum kondensado, dum vaporigado kaj dum varmigego de vaporo. Sed ni devas konscii, ke dum ĉi tiuj, en unu ciklo, kunigitaj procezoj ekzistas kaj devas ekzisti la premdiferenco inter la komenca kaj fina statoj. Kiel la komencan staton oni konsideras la eniron de la labormaterio en la kaldronon kaj la finn de ciklo oni pozicias en ĉi tiu kazo malantaŭen de la turbino – en la kondensadon. konsiderante la unuopajn procezojn en aparaj ekipaĵoj kiel izobarajn, oni nur plisimpligas en limoj, kiu estas por la precizeco de kalkulo kaj konstruo akcepteblaj.
<i><b>3) La izoterma procezo</i></b>
La izoterma procezo okazas, kiam oni alkondukas aŭ forkondukas la varmon al la gaso dum ĝia konstanta temperaturo.
[[Dosiero:Izoterma_procezo.GIF]]
La rilatoj por la izoterma procezo laŭ la stata ekvacio estas:
::<math>p_1v_1 = rT \,</math>
::<math>p_2v_2 = rT \,</math>
::<math>\frac{p_2v_2}{p_1v_1} = 1 \,</math>
aŭ
::<math>p_1v_1 = p_2v_2 = pv = konst \,</math>
aŭ
::<math>\frac{p_1}{p_2} =\frac{v_2}{v_1} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \,</math>
La ekvacio pv = konst esprimas, ke la produto de premo kaj volumeno estas konstanta, ke inter la premo kaj volumeno estas malrekta proporcieco. La ekvacio de izoterma kurbo – izotermo – estas samtempe la ekvacio de egalaksa hiperbolo kun asimtotoj kuŝantaj en la aksoj x kaj y .(v kaj p).
Laŭ la ekvacio esprimanta la rilatojn de la unua termodinamika teoremo validas:
::<math>dT = 0 \,</math>
::<math>du = 0 \,</math>
::::<math>dq = du + pdv = c_vdT + pdv \,</math>
::::<math>dq = du + pdv = da \,</math>
Tio signifas, ke dum la izoterma procezo la ena kineteika energio de gaso ne ŝanĝigas. Ĉiu alkondukita varmo transformiĝas en la laboron.
::<math> p = \frac{rT}{v} \,</math>
::<math>dq = da = rT\frac{dv}{v} \,</math>
post la integrado:
(72)
::<math>q_{1,2} = a_{1,2} = rT \int_{v_1}^{v_2}\frac {dv}{p} = rT \ln \frac {v_2}{v_1} \,</math>
aŭ ankaŭ:
(72a)
::<math>q_{1,2} = a_{1,2} = rT \ln \frac {p_1}{p_2} \,</math>
<i><b>4) La adiabata procezo</i></b>
Dum la adiabata procezo oni nek alkondukas nek forkondukas la varmon al labormaterio. La procezo efektiviĝas en la izolita sistemo. La varminterŝanĝo kun ĉirkaŭaĵo estas malebligita – ĝi ne egzistas.
La ekvacio de la unua termodinamika teoremo havas la sekvan formon:
::<math>q = konst \,</math>
::<math>dq = 0 \,</math>
::::<math>dq = 0 = c_vdT + pdv \,</math>
El la diferenciigita stata ekvacio oni anstataŭigas dT
::::<math>dqT = \frac {1}{r}(pdv + vdp) \,</math>
::<math>r = c_p - c_v \,</math>
Post la anstatŭigo estas:
::::<math> \frac {c_v}{r}(pdv + vdp) + pdv = 0 \,</math>
::::<math>pdv + vdp + \frac {r }{c_v} pdv = 0 \,</math>
::::<math>pdv + vdp + \frac {c_p - c_v}{c_v} pdv = 0 \,</math>
::::<math>pdv + vdp + (\kappa - 1) pdv = 0 \,</math>
::::<math>vpd + \kappa pdv = 0 \quad \,</math>
post divido per pv
::::<math>\frac {dp}{p} + \kappa \frac {dv}{v} = 0 \,</math>
kaj post la integrado estas:
::<math>\ln p + \kappa \ln v = \ln konst \,</math>
(73)
::<math>pv^\kappa = konst \,</math>
aŭ
::<math>p_1v_1^\kappa = p_2v_2^\kappa = pv^\kappa = konst \,</math>
La ekvacio (72) estas la ekvacio de la adiabata kurbo – adiabato.
La dependenco inter la fundamentaj stataj grandoj p,v,T estas jena:
(73a)
::<math>\frac{p_1}{p_1} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^\kappa \,</math>
Ĉi tio estas la alia formo de la ekvacio (73). Laŭ la stata ekvacio validas:
::<math>p_1v_1 = rT_1 \,</math>
::<math>p_2v_2 = rT_2 \,</math>
::<math>\frac{p_2v_2}{p_1v_1} = \frac{T_2}{T_1} \, </math>
Post la anstataŭigo de <math>\frac{p_1}{p_2}</math> per <math>\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^\kappa </math> estos:
(73b)
::<math>\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{\kappa -1} \, </math>
Post la anstataŭigo de <math>\frac{v_1}{v_2}</math> per <math>\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}} </math> ekestos:
(73c)
::<math>\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\kappa -1}{\kappa}} \, </math>
Dum la aiabata procezo efektiviĝas la volumena laboro malprofite por la ena energio de gaso. Dum la adiabata kunpremo la temperaturo plialtiĝas. Dum la adiabata ekspansio la temperaturo malplialtiĝas.
La rilatoj por la laboro havas la dekvan formon:
::<math>dq = 0 = du + da \,</math>
::<math>da = -du \,</math>
Post la integrado ekestos:
::<math>a_{1,2} -(u_2 - u_2) = u_1 - u_2 = c_v(T_1 - T_2) = c_vT_1\left(1 - \frac{T_2}{T_1}\right) \,</math>
Kiam oni anstataŭigas por <math>T_1=\frac{p_1u_1}{r} </math> el la stata ekvacio kaj por
::<math>\frac{T_2}{T_1}= \, </math>
el la ekvacio (72a) oni ricevos:
::<math>a_{1,2} = \frac {c_v}{r}p_1v_1\left[1-\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\kappa -1}{\kappa}}\right] \,</math>
Sed <math> \frac{c_v}{r}=\frac{1}{\kappa -1} </math> kaj tial oni povas skribi:
(74)
::<math>a_{1,2} = \frac{1}{\kappa -1} p_1v_1\left[1-\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\kappa -1}{\kappa}}\right] \,</math>
<b>Komparo de la izotermaj kaj adiabatikaj kurboj</b>
[[Dosiero:Adiabato_kaj_izotermo.GIF]]
La komparo de proceztendencoj de izoterma kaj adiabatika kurboj estas grava, ĉar ambaŭ kurboj reprezentas ekstermaj kazojn de termodinamikaj ŝanĝoj, kaj ili dividas diagramojn en tipajn partojn. La rilatoj de la adiabato kaj izoterma esprimitaj per sekvaj ekvacioj
(adiabato) <math> ->\qquad \frac{p_1}{p_2} = \left (\frac{v_2}{v_1}\right)^\kappa \,</math>
(izotermo) <math> ->\qquad \frac{p_1}{p_2} = \frac{v_2}{v_1} \,</math>
klare montras, ke la sama volumenpligrandiĝo kaŭzas dum la ekspansio de la adiabata procezo pligradan malaltigon de la premo ol dum la izoterma ekspanzio.
El analizo de ĉi tiuj kurbekvacioj ankaŭ rezultas, ke la adiabata kurbo havas pli altiĝantan tendencon ol la izoterma.
<b><i>5) La politropa procezo</b></i>
La izoterman kaj adiabatan procezojn oni ne povas praktike reprezentas idealajn procezoj, al kiuj oni klopodas alproksimiĝi. La realaj procezoj en piŝtaj varmmaŝinoj sekvas laŭ kurboj procezoj en piŝtaj varmmaŝinoj sekvas laŭ kurboj situitaj inter inter la izotermo kaj adiabato. oni nomas ĉi tiujn kurbojn – politropajn. Matematike oni esprimas la politropajn procezojn per ekvacioj por la ideala gaso jene:
(75)
::<math>pv^n = konst \,</math>
aŭ
(75a)
::<math>vpd + npdv = 0 \,</math>
La ekvacio 75a ekestis post la derivado de la ekvacio 75:
La ekvacio (75a) pvn = konst estas la ekvacio de politropaj kurboj, kiujn oni povas desegni en la koordinata sistemo p-v.
Kiam oni substrahas la ekvacion (75a) de la derivita stata ekvacio, oni ricevas la sekvan rezulton:
::<math>vpd + npdv = 0 \,</math>
::<math>vpd + pdv = rdT \,</math>
::<math>(n-1)pdv = - rdT \,</math>
Ĉi tiun rezulton oni uzos por la anstataŭigo en la ekvacio de la varmo:
::<math>dq = du + pdv \,</math>
::<math>dq = c_vdT - \frac{rdT}{n-1} = \left(c_v - \frac{r}{n-1}\right)dT = \left(c_v - \frac{c_p-c_v}{n-1}\right)dT \,</math>
(76)
::<math>dq = c_v \frac{n - \kappa}{n-1} \,</math>
La esprimon
::::<math> c_v \frac{n - \kappa}{n-1} = c_n \,</math>
:::::::::oni nomas la specifa varmo de la politropa procezo.
Tial la ekvacio (76) plisimpliĝas jene:
(76a)
::<math>dq = c_ndT \,</math>
kaj post la integrado estas:
(76b)
::<math> q_{1,2} = c_n(T_2 - T_1) = c_n(t_2 - t_1) \,</math>
La specifa politropa varmo havas dum ordinaraj ŝanĝiĝoj, kies kurbo situas en p – v diagramo inter la izotermo kaj adiabato, la eksponanaton n en ĉi tiuj limoj
::<math> 1 <n<\kappa \,</math>
El la ekvacio por <math> c_n = c_v \frac{n - \kappa}{n-1} </math>
rezultas, ke la specifa politropa varmo estas negativa, tio signifas, ke dum la ekspansio oni devas aldoni la varmon al la gaso kaj dum la kunpremado forkonduki ĝin.
Oni povas ĝenerale ĉiujn procezojn de ideala gazo konsideri, kiel politropajn procezojn. En ĉi tiu kazo havas la eksponento valorojn ek de –∞ ĝis +∞. Memkompreneble ke ankaŭ la fundamentaj termodinamikaj procezoj povas esti konsiderataj termodinamikaj procezoj.
Tial validas, ke
la izobaro estas la politropo kun n = 0; <math>pv_0 = p = konst </math><br>
la izoĥoro estas la politropo kun n = ∞; <math>p^{\frac{1}{n}}v_1 = p^0v = v = konst </math> <br>
la izotermo estas la politropo kun n = 1; <math>pv = v = konst </math><br>
la adiabato estas la politropo kun n = κ; <math>pv^\kappa = konst</math>.
Kiam oni donas al ĉiujn valorojn anstataŭ la eksponanato n en la ekvacion de la specifa politropa varmo,
::<math> c_n = c_v \frac{n - \kappa}{n-1} </math>
:::tiam oni ricevos:
por la izobara procezo – n = 0; <math> c_n = c_v \frac{0 - \kappa}{n-1} = c_v\kappa = c_p </math>
por la izoĥora procezo – n = ∞; <math> c_n = c_v \frac{\mathcal{1} - \kappa}{n-1} = c_v.1 = c_v </math>
por la izoterma procezo – n = 1; <math> c_n = c_v \frac{1 - \kappa}{1-1} = c_v \frac{1 - \kappa}{0} = \mathcal{1} </math>
por la adiabata procezo – n = κ; <math> c_n = c_v \frac{\kappa - \kappa}{\kappa-1} = c_v \frac{0}{\kappa-1} = 0 </math>
La kurboj de fundamentaj termodinamikaj procezoj desegnataj kiel politropaj kun apartenata eksponento n en la p – v diagramo:
[[Dosiero:Politropo.GIF]]
Por la politropo validas la samaj matematikaj rilatoj kiel por la adiabato.
La dependeco de stataj grandoj estas:
(77)
::<math> \frac{p_2}{p_1} = \left (\frac{v_1}{v_2}\right)^n \,</math>
(78)
::<math> \frac{T_2}{T_1} = \left (\frac{v_1}{v_2}\right)^{n-1} \,</math>
(79)
::<math> \frac{T_2}{T_1 }= \left (\frac{p_2}{p_1} \right)^{\frac{n-1}{n}} \,</math>
La volumena laboro dum la politropa procezo estas:
(80)
::<math> a_v = \frac{1}{n-1}p_1v_1 \left [1- \left(\frac{p_2}{p_1} \right)^{\frac{n-1}{n}}\right] \,</math>
Laŭ la ekvacio de varmo estas la laboro:
::<math>dq = du + da \,</math>
::<math>da = dq - du = c_ndT - c_vdT = c_v^{\frac{n-\kappa}{n}}dT - c_vdT = -c_v\frac{\kappa -1}{n-1}dT \,</math>
::<math> a = c_v\frac{\kappa -1}{n-1}T \left (1-\frac{T_2}{T_1}\right) \,</math>
samtempe validas:
::<math> c_v(\kappa -1) = r \,</math>
tial oni povas skribi:
::<math> a = \frac{r}{n-1}T_1 \left (1-\frac{T_2}{T_1}\right)\,</math>
kaj post la anstataŭigo de T2/T1 ekestos:
::<math> a = \frac{1}{n-1}rT_1 \left [1- \left(\frac{p_2}{p_1} \right)^{\frac{n-1}{n}}\right] \,</math>
Ĉi tio estas la alia formo de la ekvacio (80), ĉar p1v1 = rT1 laŭ la stata ekvacio.
Kiam oni konas du punktojn de politropo, oni povas alkalkuli la politropan eksponeneton n, uzante la sekvan ekvacion:
::<math>\left (\frac{v_2}{v_1}\right)^n = \frac{p_1}{p_2} \,</math>
kaj logarintme ĝin, oni ricevas:
::<math>n\log \frac{v_2}{v_1} = \log \frac{p_1}{p_2} \,</math>
(81)
::<math>n= \frac {\log \frac{p_1}{p_2}}{\log \frac{v_2}{v_1}} \,</math>
La ekvacio de la politropo post la logaritmado ricevas la formon de la linera ekvacio:
::<math> pv^n = konst \,</math>
(82)
::<math> \log p + n \log v = konst \,</math>
La eksponento n estas la tangento de la angulo α, kiu estas inter la politropo kaj la akso x (log V):
::<math>n= tg \alpha = \frac{\log p_1 - \log p_2}{\log v_2 - \log v_1}\,</math>
La p – v diagramo kun desegnitaj fundamentaj termodinamikaj procezoj plisimpliĝas en logaritma koordinata sistemo. La kurboj ŝanĝiĝas en rektaj liniojn:
[[Dosiero:Logp_logv.GIF]]
=====La termodinamikaj ŝanĝiĝoj de la reala gazoj kaj la aliiĝanta specifa varmo de la gaso=====
Rilatoj inter la stataj grandoj dum la termodinamikaj ŝanĝiĝoj por la ideala gaso estas tre simplaj ĉar oni konsideras la specifajn varmojn dum la tuta ŝanĝiĝo kiel konstantajn. En ĉi tiu kazo eĉ la eksponento n konstanta.
Sed en la realeco la specifaj varmoj dependas de la temperaturo:
::<math> c = a + bt \,</math>
Memkompreneble ankaŭ la kvociento de specifaj varmoj dependas de la temperaturo:
::<math> \frac{c_p}{c_V} = \kappa \,</math>
::<math> \kappa = \kappa_0 -\alpha T \,</math>
Post ĉi tiu precizigo de la ekvacioj por la ideala gaso la rilatoj rimarkinde alproksimiĝas al la realeco sed tamen ĉi tie certa neprecizeco restas jam pro tio, ĉar oni ja baziĝas sur la stata ekvacio de ideala gaso.
<b>Varmcikloj kaj cikla varmefikeco</b>
La varmciklo estas la komplekso de kelkaj sinsekvaj procezoj, post kies realigo la labormaterio denove atingas sian komencan elirpunkton.
La varmciklo efektiviĝas dum sia ekspansio sur tuta alia vojo al dum sia kunpremo. La senco de la varmciklo estas en la gajnado de laboro malprofite de varmo, aŭ dum la mala kaj rea procezciklo ĝi estas en la gajnado de varmo malprofite de laboro.
Carnot la unua ekkomprenis la sencon de la varmcikloj (en la jaro 1824).
La laboro estas pergrate desegnita en la p – r diagramo kiel areo, kiu estas la diferenco de areoj de la alkondukita kaj forkondukita varmoj.
La alkondukita varmo estas bildigita per la areo
::<math> 1-I-2-V_2-V_1 = a_I \,</math>
La forkondukita varmo estas bildigita per la areo
::<math> 2-II-1-V_1-V_2 = a_{II} \,</math>
Kiam la ciklo realiĝas en la cirkuldirekto de horloĝmontriloj, tiam la suma laboro de la tuta ciklo estas ĉiam pozitiva. La kunpremkurbo de la ciklo kuŝas sun la ekspansia kurbo.
Dum la ekspansio oni alkondukas al la gaso la varmon q1; dum la kunpremo oni forkondukas la varmon q2.
Laŭ la unua termodinamioka teoremo validas la fundamenta ekvacio en sekva formo:
(83)
::<math> \oint dq = \oint du + \oint pdv \,</math>
<math> \oint \,</math>- la integralo por la tuta fermita ciklo
Kiam la labormaterio revenas en sian komencan elirpunkton, tiam la tita ŝanĝiĝo de la ena energio egalas al nulo:
::<math> \oint du = 0 \,</math>
kaj el la ekvacio (83) restos:
::<math> \oint dq = \oint pdv = \oint da + \,</math>
::<math> \oint da = a_0 = a_I - a_{II} \,</math>
(84)
::<math> \oint dq = q_1 - \left| q_2 \right| \,</math>
q1 – la sumo de ĉiuj alkondukitaj varmoj al unu kilogramo da labormaterio [kJ/kg]
q2 – la sumo de ĉiuj forkondukitaj varmoj al unu kilogramo da labormaterio [kJ/kg]
=====La varmefikeco=====
La proporcio de la varmo eluzita por ŝanĝo en la mekanikan laboron al la alkondukita varmo servas poe la valorigo de la varmŝanĝa ekonomieco. Oni nomas ĝin – varmefikecon:
(85)
::<math> \eta= \frac{q_1 - \left| q_2 \right|}{q_1} = \frac {a_0}{q_1} = 1 - \frac{\left| q_2 \right|}{q_1} \,</math>
Oni povas ankaŭ el la alkondukita varmo elkalkuli la laboron de unu ciklo:
::<math> a_0 =\eta _tq_1 \,</math>
q1 – la alkondukita varmo por unu kilogramo da labormaterio dum unu ciklo [kJ/kg]
a0 – la laboro de unu kilogramo da labormaterio efektivigita dum unu ciklo [kJ/kg]
<b>La rea ciklo</b>
[[Dosiero:Rea_ciklo.GIF]]
Kiam oni realigas ciklon en la rea direkto, tiam la ekspansia laboro estas pli malgranda ol la kunprema. La kunprema kurbo en ĉi tiu kazo kuŝas super la kurbo de la ekspansio. La ciklo realiĝas kontraŭ la cirkuldirekto de horloĝmontriloj desegnite en la p – v diagramo. Ĝia laboro estas negativa, tio signifas, ke oni devas ĝin al la maŝino aldoni. Oni nomas la ciklojn de ĉi tiu speco – reaj cikloj.
<b>La difino de inversaj cikloj</b>
La inversaj cikloj konsistas ekskluzive nur el inversaj procezoj. Kiam estas ili nur unu neinversa procezo, tiam la tuta ciklo iĝas neinversa.
La inversaj procezoj estas tiuj, kiuj okazas dum la senĉesa mekanika kaj varmeca ekvilibro. Tio signifas, ke la labormaterio prapasas dum siaj ŝanĝiĝoj nur ekvilibrajn statojn kaj ke ĉiuj procezoj povas okazi kiam ajn ankaŭ en la ra direkto sur la sama vojo, kiu estas bildigita per unu kurbo en la p – v diagramo. Ĉi tiuj ŝanĝoj povas okazi nur tre malrapide prezentante samtempe la ekstremajn procezojn, al kiu oni bedaqrinde nur klopodas alproksimiĝi.
Sed ekzistas la procezoj, kiuj okazas nur en unu direkto. Tiaj ĉi procezoj, kiuj okazas nur en la frotado, solvado, mkisado, kimikaj ŝanĝoj, ktp. Tio estas la procezojneinversaj. Inter ili estas unu tre grava procezo por la termodinamiko – la varmtransiro de la pli varma korpo al la korpo malpli varma. Ĉi tiu procedo efektiviĝas sen ekstera helpo tiel longe, ĝis kiam la temperaturo de ambaŭ korpoj ne egaliĝas.
La ciklo de Carnot
La ciklo de Carnot konsistas de du izotermoj kaj du adiabataj procezoj. Ĝi estas ideala ciklo, ĉar ĝia procezoj estas nur idealaj kaj samtempe ankaŭ limaj kaj ekstremaj procezoj. La realigo de ĉi tiu ideala ciklo supozas du varmprovizujojn, kies temperaturoj Ta kaj Tb dum la tuta ciklo ne aliiĝas.
[[Dosiero:Cikloí-de_Carnot.GIF]]
La ciklo komencas kun la izoterma ekspansio okazanta inter la punktoj 1–2 en la p–v diagramo. Unu kilogramo da laborgso akceptas la varmon q el la provizujo havanta la pli altan temperaturon Ta. La kondiĉo de la inverseco supozas la saman temperaturan de la laborgaso Ta dum la tuta izoterma ekspansio.
La dua procezo de la ciklo estas la adiabata ekspansio. Oni bildigas ĝin en la p–v diagramo pere de la kurbo inter la punktoj 2–3. Dum la adiabata ekspansio ne okazas la varminterŝanĝo. La laborcilindro devas esti izolita de ambaŭ varmprovizujoj. La gaso realiĝas la laboron nur malprofite de sia ena energio. La temperaturo Ta malpligrandiĝas dum la adiabata ekspansio ĝis la temperaturo Tb.
La tria procezo estas izoterma kunpremo efektiviĝanta laŭ la kurbo inter la punktoj 3–4 en la p–v diagramo. Oni alkondukas al gaso al la gaso la laboron, kiu estas egala al la forkondukita varmo dum la konstanta temperaturo Tb. La konstanta temperaturo de la gaso kaj de la varmprovizujo kun la pli malalta temperaturo estas la kondiĉo por la inverzeco de la izoterma procezo kaj tiel ankaŭ de la tuta ciklo.
La kvara procezo estas la adiabata kunpremo, kiu okazas inter la punktoj 4-1 en la p-v diagramo. La kunprema laboro plialtiĝas la enan energion de la laborgaso. La temperaturo Tb plialtiĝas dum la asiabata kunpremo ĝis la temperaturo Ta.
La diferenco inter la eldonita laboro dum la izoterma kaj adiabata ekspansioj kaj la aldonit laboro dum la izoterma kaj adiabata kunpremoj prezentas la gajnitan laboron de la tuta ciklo. Ĉi tiu laboro egalas al la diferenco de la alkondukita varmo el la provizujo kun la temperaturo Ta kaj de al forkondukita varmo en la provizujon kunla temperaturo Tb.
(86)
::<math> a_0 = q_1 - q_2 \,</math>
a0 – la laboro gajnita per la ciklo kJ/kg
q1 – la varmo aldonita dum la izoterma ekspansio kJ/kg
q2 - la varmo forprenita dum la izoterma kunpremo kJ/kg
Alkondukita varmo dum la izoterma ekspansio (1-2) estas:
::<math> q_1 = a_{1,2} = \int_1^2 pdv \,</math>
:::::Por la premo validas la rilato el la stata ekvacio:<math> p = \frac{rT}{v} </math>
::<math> q_1 = rT_a \int_1^2 \frac {dv}{v}= rT_a \ln \frac{v_2}{v_1}= a_{1,2}\,</math>
<b><math> a_{1,2} \,</math> estas la alkondukita varmo. Ĝi estas pozitiva.</b>
La forkondukita varmo dum la izoterma kunpremo (3-4) estas:
::<math> \left| q_2 \right| = \left| a_{3,4} \right| =\left| \int_3^4 pdv\right| = \left|rT_b\int_3^4 \frac{dv}{v}\right| \,</math>
::<math> \left| q_2 \right| = rT_b \ln \frac{v_3}{v_4} = a_{3,4} \,</math>
<b><math> a_{3,4} \,</math> estas la forkondukita varmo. Ĝi estas negativa.</b>
Se oni pruvas, ke la proporcioj de volumenoj v2/v1 = v3/v4, tiel proporcio de aldonita kaj forprenita varmoj egalas al la temperaturproporcio de la provizujoj Ta/Tb.
El al dependeco de stataj granoj por la adiabata ŝanĝiĝo de la gaso validas
a) por la adiabata kunpremo:
::<math> \frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{v_4}{v_1}\right)^{\kappa - 1} = \frac{T_a}{T_b}\,</math>
(87)
::<math> \left(\frac{T_a}{T_b}\right)^{\frac{1}{\kappa - 1}} = \frac{v_4}{v_1} \,</math>
b) por la adiabata ekspansio:
::<math> \frac{T_2}{T_3} = \left( \frac {v_3}{v_2} \right)^{\kappa - 1} = \frac{T_a}{T_b}\,</math>
(88)
::<math> \left(\frac{T_a}{T_b}\right)^{\frac{1}{\kappa - 1}} = \frac{v_3}{v_2} \,</math>
oni povas la ekvacioj (87) kaj (88) unuigi:
::<math> \frac {v_4}{v_1} = \frac{v_3}{v_2} \,</math>
aŭ ankaŭ
(89)
::<math> \frac {v_2}{v_1} = \frac{v_3}{v_4} \,</math>
Kiam estas la proporcioj de la specifaj volumenoj egalaj, tiam estas ankaŭ iliaj naturaj logaritmoj egalaj.
La ekspansia kaj kunperema adiabataj laboroj estas en siaj absolutaj valoroj egalaj, sed reciproke sinnuligantaj.
::<math> a_{2,3} = \int_{T_b}^{T_a} cv dT \,</math>
::<math> a_{4,1} = -\int_{T_b}^{T_a} cv dT \,</math>
::<math> \left| a_{2,3} \right| = \left| a_{4,1} \right|\,</math>
::<math> a_{2,3} = a_{4,1} \,</math>
Tial restas nur la laboroj el la izotermaj procezoj kaj la laboro de la tuta ciklo de Carnot estas:
::<math> a_0 = q_1 - q_2 \,</math>
La varmefikeco de la ciklo de Carnot estas:
(90)
::<math> \eta_t = 1 - \frac{T_b}{T_a} \,</math>
La varmefikeco de la ciklo de Carnot kun la ideala gaso dependas nur de la absoluta temperaturoj, inter kiuj la ciklo realiĝas. Ĝi ne dependas de la materio uzita en la ciklo.
La ciklo de Carnot havas la plej grandan efikecon. Ĉiu alia ciklo realiĝanta inter la samaj du temperaturoj (de la izoterma ekspansio kaj de la izoterma kunpremo) devas havi la pli malgrandan varmefikecon. tial servas la ciklo de Carnot kiel la kompara ciklo:
La ekvacio (90) rezultas:
a) La varmefikecon de la cikklo de Carnot oni povas plialtiĝi plialtiĝante la temperaturon de la varmalkonduko al la labormaterio kaj plimalatigante la temperaturon de la varmforkonduko el la labormaterio.
b) La varmefikeco ne povas atingi la valoron 1, ĉar devus esti aŭ T<sub>a</sub> = <math> \infty </math>, aŭ T<sub>b</sub> = 0. Sed bedaurinde oni ne povas ĉi tiujn ambaŭ kazojn praktike realigi.
Tio signifas, ke eĉ per la ciklo de Carnot, kies efikeco inter ĉiuj ciklo estas la plej alta, oni ne povas ĉiun alkondukitan varmon al la gaso ŝanĝi en la laboron.
<b>La rea ciklo de Carnot</b>
Kiam la ciklo de Carnot realiĝas en la rea direkto (tio estas kontraŭ la cirkuldirekto de horloĝmontriloj desegnitae en la p-v diagramo), tiam la ciklo bezonas aldoni la laboron a<sub>0</sub>, egalan al la diferenco de la varmoj q<sub>a</sub> – |q <sub>b</sub>|, por ŝanĝi ĝin en la varmon, kiun oni kun la varmo qb prenita el la pli malvarmo provizujo transdonas al la pli varma provizujo. La tutan varmon q<sub>a</sub> = + a<sub>0</sub> oni gajnas helpe de la aldono de la laboro a<sub>0</sub>. La efikeco de ĉi tiu ŝanĝiĝo estas:
(91)
::<math> \eta_t' = \frac{q_a}{a_0} = \frac {q_a}{q_a - \left |q_b \right|} = \frac{1}{\eta_t} = \frac{T_a}{T_a - T_b}\,</math>
q<sub>b</sub> – la varmo prenita el la pli malvarma provizujo por 1 kg da laborgaso, kJ/kg<br>
q<sub>a</sub> – la varmo transdonita al la pli varma provizujo per 1 kg da laborgaso, kJ/kg<br>
T<sub>b</sub> – la temperaturo de la pli malvarma provizujo, °K<br>
T<sub>a</sub> – la temperaturo de la pli varma provizujo, °K<br>
La efikeco de ĉi tiu varmgajnado helpe de la mekanika laboro povas atingi sufiĉe grandan valoron. Dum ĉi tiu laborciklo okazas tiel nomata “varmtraĉerpado”. La varmefikecon ’t onioni ankaŭ nomas la koeficiento de multobligado. Ĝi estas ĉiam pli granda ol 1.
<b>La neinversa ciklo de Carnot</b>
La varmefikeco de la neinversa ciklo de la inversa ciklo de Carnot. Inter la varmprovizujpj kaj la laborgaso devas esti iu temperaturdiferenco. Tial estos la temperaturo de la laborgaso dum ĝia ekspansio pli malata kaj dum la punpremo pli alta ol la temperaturoj de la provizujoj Ta kaj Tb.
Kiam estos la temperaturoj de ambaŭ varmprovizujoj, por kies helpo la neinversa ciklo realiĝas, Ta kaj Tb, ciamvalidas ĉi tiu rilato de la varmrfikeco:
(92)
::<math> \eta_{neinvers} < \frac{T_a - T_b}{T_a}\,</math>
[[Dosiero:Neinversa_Carnot.GIF]]
T<sub>a</sub>, T<sub>b</sub> – la temperaturoj de ambaŭ varmprovizujoj, °K<br>
T’<sub>a</sub>, T’<sub>b</sub> – la temperaturoj de la laborgaso, °K<br>
q<sub>1</sub>, q<sub>2</sub> – la aldonita kaj forprenita varmoj je la gaso, kJ/kg
La neinverseco de ŝanĝiĝoj estas kaŭzita pro la temperaturdiferenco inter la gaso kaj la varmprovizujo same kiel pro la frotado kaŭzas la varmeldonadon. La temperaturdiferenco inter du korpoj estas bedaŭrinde la neevitebla kondiĉo de la varminterŝanĝo. La varmo transiras de la pli varma korpo al la pli malvarma korpo. Ĉi tiu kondiĉo de la varmtransiro mem kompreneble kontraŭas la plenumon de la inversec-kondiĉo, kiu supozas termodinamikan ekvilibrecon inter la gaso kaj ĝia ĉirkaŭaĵo.
Tial validas:
(92a)
::<math> \eta_{neinvers} < \eta_{invers} \,</math>
(92)
::<math> \eta_{neinvers} < \frac{T_a - T_b}{T_a}\,</math>
(92b)
::<math> \frac {q_1 - \left |q_2 \right|}{q_1 } < \frac{T_a - T_b}{T_a}\,</math>
====La dua termodinamika teoremo====
La unua termodinamika teoremo traktas pri la principo de la energikonservo, pri la ekvivalenco de laboro kaj varmo. Ĝi neas la eblecon de la senĉesa movigilo (“perpetuum mobile”). Sed ĝi ne okupiĝ’as pri kondiĉoj, kiuj estas necesaj al la ŝanĝiĝo de laboro en varmon kaj reen, ĝis kiom oni povas eluzi la alkondukitan varmon por ŝanĝi ĝin en laboron kaj kiam ĉi tiuj ŝanĝiĝoj entute ne estas eblaj.
La dua termodinamika teoremo respektas laŭleĝecon de ŝanĝiĝoj tendencantaj al la ekvilibra stato. Ĉi tiaj ŝanĝoj tendencantaj al la ekvilibra stato. Ĉi tiaj ŝanĝiĝoj. Inter ili ekzemple apartenas la ŝanĝiĝo de la mekanika laboro en la varmon, la transiro de la varmo el la pli varma korpo en la pli malvarman. Ĉi tiuj ŝanĝiĝoj ne efektiviĝas memimpulse aŭtomate en la rea direkto.
La sencon de la dua termodinamika teoremo sendepende ekkomprenis kaj malkovris rimarkindaj fizikistoj kaj difinis ĝin diversmaniere.
Clausius:
La varmo ne povas de si mem transiri el la pli malvarma korpo en la pli varman korpon.
W. Thompson (lordo Kelvin):
Oni ne eblas per iu ajn ciklo gajni la laboron el la sistemo de nevivaj masoj nur malvarmigante unun el ĉi tiuj masoj ĝis al la temperaturo pli malalta, ol estas samtempe la temperaturo de la plej malvarma loko en ĝia ĉirkaŭaĵo.
Planck:
Ne estas ebla konstrui periode laborantan maŝinon, kiu nenion alian farus ol malvarmigus la varman banon kaj realigus tiamaniere la samvaloran kaj ekvivalentan laboron.
Sadi Carnot:
Ĉiuj inversciklaj maŝinoj periode laborantaj inter la samaj temperaturoj havas la saman efikecon. La maŝino kun unu neinversa procezo ne povas havi sian efikecon pli grandan, sed – (ĉar kun ĉiu vere neinversa procezo oni perdas la eblecon gajni la laboron el la varmo) – ĝi havas la efikecon pli malgrandan.
Do la dua termodinamika teoremo eksplikas, kiam kaj en kiu disetendo la unua termodinamika teoremo validas. Ĝi la rea direkto por unuopaj neinversaj procezoj. Ĝi limigas por cikloj laborantaj inter do temperaturoj eluzon de la varmo en la laboron, aŭ male, per netranspasebleco de la limo. kiun difinas la ciklo de Carnot laboranta inter la samaj temperaturoj.
Kiam laboras du cikloj inter la samaj temperaturoj kun la sama akceptita varmo el la varmprovizujo havanta la pli altan temperaturon, kaj kiam estas unu el ĉi tiuj cikloj la ciklo de Carnot kaj la alia estas la neinversa ciklo, tiam validas inter ili la sekva rilato:
La akceptitaj varmoj de ambaŭ cikloj estas la samaj:
::<math> q_{c1} = q_{n1} = q_1\,</math>
La ekvacio por la laboro de la ciklo de Carnot estas:
::<math> a_c = q_{c1} = q_{c2}\,</math>
La ekvacio por la laboro de la neinversa ciklo estas:
::<math> a_n = q_{n1} = q_{n2}\,</math>
Kaj la diferenco de forkondukitaj varmoj estas:
(93)
::<math> q_{c2} - q_{n2}= (q_1 - a_c) - (q_1 - a_n) = a_n - a_c\,</math>
a<sub>c</sub> – la laboro gajnita per la ciklo de Carnot, kJ/kg<br>
a<sub>n</sub> – la laboro gajnita per la neinversa ciklo, kJ/kg<br>
q<sub>c1</sub> – la alkondukita varmo al la ciklo de Carnot, kJ/kg<br>
q<sub>n1</sub> – la alkondukita varmo al la neinversa ciklo, kJ/kg<br>
q<sub>c2</sub> – la forkondukita varmo de la ciklo de Carnot, kJ/kg<br>
q<sub>n2</sub> – la forkondukita varmo de la neinversa ciklo, kJ/kg<br>
Kiam la resto de laboro laŭ ĉi tiu ekvacio – (93) – estus pozitiva, tiam signifus tio, ke oni gajnas laboron malprofite de la varmo el la varmprovizujo kun la pli malalta temperaturo. Sed tio bedaŭrinde ne estas ebla. Tio kontraŭas la spertojn kaj ankaŭ la duan termodinamikan teoremon. Tial povas nur validi, ke la diferenco de laboroj estas nagativa kaj en la tute lima kazo nula. Oni tion eksplikas matematike jene:
(94)
::<math> a_n \le a_c\,</math>
Por la varmefikeco de ambaŭ maŝinoj validas la rilato:
(95)
::<math> \eta' = \frac{a_n}{q_1} \le \frac{a_c}{q_1} = \eta \,</math>
<math>\eta </math> – la varmefikeco de la maŝino laboranta en la ciklo de Carnot<br>
<math>\eta </math>' – la varmefikeco de la maŝino laboranta en la neinversa ciklo
Sed por la ciklo de Carnot validas la rilato de la varmefikeco esprimita per la temperaturoj de ambaŭ varmprovizujoj:
::<math> \eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} \,</math>
T<sub>1</sub> – la temperaturo de la varmiganta varmprovizujo kun la pli alta temperaturo, °K<br>
T<sub>2</sub> – la temperaturo de la malvarmiganta varmprovizujo kun la pli malalta temperaturo, °K
Post la anstataŭigo en la rilato (95), komparanta la varmefikecojn oni ricevas:
(95a)
::<math> \eta' = \frac{a_n}{q_1} \le \frac{T_1 - T_2}{T_1} \,</math>
La egaleco ekestas, kiam la ciklo de Carnot kaj la neinversa ciklo samiĝas. Tio signifas, ke oni jam en ĉi tiu kazo komparas du samaj kaj egalaj ciklojn de Carnot.
La malekvacio (95) kaj (95a) estas la matematika esprimo por la difino de la dua termodinamika teoremo laŭ Carnot.
─── ● ───
Por la inversa ciklo de Carnot validas por la varmefikeco la sekva rilato:
(90)
::<math> \eta_t = 1 - \frac{\left|q_2\right|}{q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1} \,</math>
q<sub>1</sub> – la alkondukita varmo, kJ/kg<br>
q<sub>2</sub> – la forkondukita varmo, kJ/kg<br>
T<sub>1</sub> – la temperaturo, dum kiu oni alkondukas la varmon q1, oK<br>
T<sub>2</sub> – la temperaturo, dum kiu oni forkondukas la varmon q2, oK<br>
El la ekvacio (90) rezultas:
::<math> 1 - \frac{\left|q_2\right|}{q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1} \,</math>
::<math> \frac{\left|q_2\right|}{T_2} = \frac{q_1}{T_1} \,</math>
::<math> \frac{q_1}{T_1} - \frac{\left|q_2\right|}{T_2} = 0 \,</math>
Kiam oni konsideras la signon de la forkondukita varmo <math>\left|q_2\right| = - q_2</math> , tiam oni oni ricevas:
::<math> \frac{q_1}{T_1} + \frac{q_2}{T_2} = 0 \,</math>
aŭ
(91)
::<math> \sum \frac{\mathcal{L}}{T} = 0 \,</math>
Por la inversa ciklo de Carnot estas la algebra sumo se termoj (q:T) egala al la nulo.
─── ● ───
Laŭ Clasius oni povas dividi kiun ajn inversan ciklon en n-nombrajn elementajn ciklojn de Carnot.
[[Dosiero:Clasius-partoj.GIF]]
En ĉi tiu kazo estas alkondukitaj varmoj de unuopaj elementak cikloj:
::<math> dq_1^I, dq_1^{II}, dq_1^{III},dq_1^{IV}.............dq_1^{(n)}\,</math>
kaj forkondukitaj varmoj:
::<math> dq_2^I, dq_2^{II}, dq_2^{III},dq_1^{IV}.............dq_2^{(n)}\,</math>
Por la unua elementa ciklo validas : <math> \frac{dq_1'}{T_1'} + \frac{dq_2'}{T_2'} = 0 </math>
Por la dua elementa ciklo : <math> \frac{dq_1''}{T_1''} + \frac{dq_2''}{T_2''} = 0 </math>
Por la n-nombra elementa ciklo : <math> \frac{dq_1^n}{T_1^n} + \frac{dq_2^n}{T_2^n} = 0 </math>
Kiam la nombro de ekvacioj estas <math>n \rightarrow \infty </math> tiam validas:
(96)
::<math> \int_1^n\frac{dq_1}{T_1} + \int_1^n \frac{dq_2}{T_2} = 0 \,</math>
kaj post la sumigo:
(96a)
::<math> \oint\frac{dq}{T} = 0 \,</math>
dq estas pozitiva, kiam oni aldonas la varmon al la gaso, kaj negativa, kiam oni forkondukas la varmon.
La ekvacio (96a) estas ankaŭ la matematika esprimo de la dua termodinamika teoremo.
Por la neinversaj cikloj validas analogie la samaj rilatoj kiel por la inversa ciklo de Carnot, sed nur kun tiu diferenco, ke la akvcio ŝanĝiĝas en la malekvacion.
Tial por la varmefikeco validas la sekva rilato:
(97)
::<math> \eta_t = 1 - \frac{\left|q_2\right|}{q_1} < 1 - \frac{T_2}{T_1} \,</math>
q<sub>1</sub> – la alkondukita varmo de la neinversa ciklo, kJ/kg<br>
q<sub>2</sub> – la forkondukita varmo de la neinversa ciklo, kJ/kg<br>
T<sub>1</sub> – la temperaturo de la varmprovizujo kun la pli alta temperaturo de la ciklo de Carnot, °K<br>
T<sub>2</sub> – la temperaturo de la varmprovizujo kun la pli malalta temperaturo de la ciklo de Carnot, °K<br>
El al malekvacio (97) rezultas:
::<math> \frac{\left|q_2\right|}{T_2} < 1 - \frac{q_1}{T_1} \,</math>
(98)
::<math> \frac{q_1}{T_1}+ \frac{\left|q_2\right|}{T_2} < 0 \,</math>
Kiam oni konsideras la signon de la dua termo, tiam estas:
(99)
::<math> \oint \frac{dq}{T} < 0 \,</math>
La neinversa ciklo de Carnot havas la algebran sumon de remoj (q:T) pli malgrandan ol nulo.
Por la libervola neinversa cilklo dividita en n-nombrajn ciklojn de Carnot validas ĉi tiu malekvacio:
kaj ĉi tiu estas ankaŭ la matematika esprimo de la dua termodinamika toremo.
=====Entropio=====
La ekvacio <math> \oint \frac{dq}{T} = 0 </math> validas por la inversaj cikloj. Ĝi ne dependas de la materispeco kaj de la procezoj, el kiuj la ciklo konsistas. Ĉar ∫(dq/T) egalas al la nulo, devas esti dq/T la totala diferencialo de la grando, dependanta nur de la materistato kaj ne de la vojo, per kiu la materio ĉi tiun staton atingis. Ĉi tiun grandon enkondukis Claudius, kaj nomite ĝin entropio, li esprimis ĝin matematike pere de sekva ekvacio:
(101)
::<math> ds = \frac{dq}{T} \,</math>
::<math> dS = \frac{dQ}{T} \,</math>
La entropio S estas la stata funkcio. La stato de la gasa materio dependas de tri fundamentaj stataj grandoj p,v,T – (premo, specifa volumeno, temperaturo) –, el kiuj du estas libervole ŝanĝiĝeblaj. La entropio, kiel la stata grando povas alterne anstataŭigi unun el ili. Tiukaze la entropio povas esti esprimita kiel la funkcio de du fundamentaj staboj grandoj. Do, ĝenerale validas la sekva vico da dependecaj rilatoj.
(102)
::<math> s = \phi_1(p,v) \,</math>
::<math> s = \phi_2(p,v) \,</math>
::<math> s = \phi_3(p,v) \,</math>
::
La totala diferencialo de la funkcio s estas:
(102a)
::<math> ds = \left( \frac{\partial s}{\partial v} \right )_p dv + \left( \frac{\partial s}{\partial p} \right )_v dp\,</math>
::<math> ds = \left( \frac{\partial s}{\partial p} \right )_T dp + \left( \frac{\partial s}{\partial T} \right )_p dT\,</math>
::<math> ds = \left( \frac{\partial s}{\partial v} \right )_T dv + \left( \frac{\partial s}{\partial T} \right )_v dT\,</math>
Ĉar la entropio estas la stata grando, tial post la termodinamikaj procezoj inter la punktoj 1,2 laŭ la kurboj a,b,c,d la aliiĝo de entropio dependas nur de la ekstremaj punktoj (1,2).
[[Dosiero:Diversaj_vojoj.GIF]]<math> \Delta s_a = \Delta s_b = \Delta s_c =\Delta s_d \,</math>
Por la elementa inversa procezo oni devas skribi:
::<math> ds = \frac{dq}{T}= \frac{du + pdv}{T} \,</math>
kaj por la limigita inversa procezo:
::<math> \Delta s = s_2 - s_1 = \int_1^2 \frac{dq}{T} \,</math>
Por la entropio de la neinversa ciklo (1a2b1) validas:
[[Dosiero:Entropio_neinversa.GIF]]<matoh>\oint \frac{dq}{T} < 0\,</math>
Kiam estas la segmento (1a2) neinversa kaj la segmento (2b1) inversa, tiam oni povas ĉi tiun esprimi jene:
::<math>\int_{(a)1}^2 \frac{dq}{T} + \int_{(b)2}^1 \frac{dq}{T}< 0\,</math>
...........<i>neinversa.................inversa</i>
::<math> \int_{(b)2}^1 \frac{dq}{T} </math>Prezentas la aiiĝon de la entropio apartanenta al la inversa ŝanĝiĝo (2b1), kiu estas egala al (s<sub>1</sub>-s<sub>2</sub>).
Kaj tial estas:
::<math>\int_{(a)1}^2 \frac{dq}{T} + (s_1 - s_2)< 0\,</math>
::<math>(s_2 - s_1) > \int_{(a)1}^2 \frac{dq}{T} \,</math>
::<math>\Delta s > \int_{(a)1}^2 \frac{dq}{T} \,</math>
(103)
::<math>ds > \frac{dq}{T} \,</math>
Kiam la inversa procezo realiĝas sen la alkonduko da varmo (dq = 0) – (ĉi tio okazas en izolitaj sistemoj), tiam la aliiĝo de la entropio estas:
::<math>ds = \frac{dq}{T} = 0 \,</math>
Por ĉi tiu kazo estas la entropio konstanta:
::<math>s = konst \,</math>
::<math>s_1 = s_2 \,</math>
::<math>S_1 = S_2 \,</math>
aŭ por la inversa ciklo:
::<math>\Delta s = \oint \frac{dq}{T} = 0 \,</math>
::<math>s = konst \,</math>
La aliiĝo de la entropio por la tuta sistemo, en kiu realiĝas la neinversa procezo egalas:
(104)
::<math>ds = \frac{dq_{al}}{T} + \frac{dq_f}{T} \,</math>
samtempe estas:
(105)
::<math>dq = dq_{al} + dq_f\,</math>
dq<sub>al</sub> – la varmo alkondukita el la eksteraĵo, kJ/kg<br>
dq<sub>f </sub> – la varmo ekestanta el la frotado, kJ/kg
Kiam ĉi tiu procezo realiĝas en la izolita sistemo, tiam dqal = 0, kaj la ekvacio (104) ricevas la formon:
::<math>ds = \frac{dq_f}{T} > 0\,</math>
kaj la entropio estas:
::<math>ds > 0\,</math>
Kiam en la sistemo realiĝas neinversaj cikloj, tiam oni povas difini la aliiĝon de la entropioj por unuopaj ŝanĝiĝoj.
Tiel estas:
::<math>\Delta s > 0\,</math>
::<math>s_2 > s_1\,</math>
Do, por la inversaj kaj neinversaj procezoj aŭ cikloj validas la komuna matematika esprimo:
(106)
::<math>ds \ge 0\,</math>
La malegalsigno validas por la neinversaj procezoj kaj la egalsigno por la inversaj.
El ĉi tio rezultas, ke en la izolita sistemo estas eblaj nur procezoj, dum kiuj la entropio de la sistemo kreskas aŭ restas konstanta. La inversaj procezoj povas realiĝi nur dum la ekvilibraj statoj kaj por ili validas, ke ds = 0. La neinversaj procezoj realiĝas nur tiam, kiam la sistemo celas de la neekvilibra stato al sia ekvilibreco. Tiam validas ds > 0. El tio ankaŭ rezultas, ke la entropio en la ekvilibron staton celas al sia maksimumo.
La ĝenerala matematika esprimo por la dua termodinamika teoremo, kiun oni povas en la rilato al izolitaj sistemoj nomi la principo de la kresko de entropio, estas:
(106)
::<math>ds \ge 0\,</math>
Al al formuloj de la dua termodinamika teoremo oni devas mencii ankaŭ ĉi tiuj du:
1) La diferencialo de la entropio estas la toala diferencialo
2) Por la inversaj cikloj estas <matoh>\oint \frac{dq}{T} < 0\,</math>
La fundamenta senco kaj enhavo de la rilato (106) estas la neinverseco. Ĝi montras, ke la kresko de la entropio celas al iu certa maksimumo kaj al la egaligo de temperaturo sur la plej malalta kaj al la haltigo de ĉiuj ŝanĝoj. Ĉi tio memkompreneble supozas la izolecon de sistemo.
=====Bildigo de la termodinamikaj procezoj en la T–s diagramoj=====
En la T-s diagramo oni uzas por la bildigo de entropiaj valoroj s la koordinaton x kaj por la valoroj de la absoluta temperaturo T la koordinaton y. La sistemo de koordinatoj t.s estas por la bildigo de termodinamikaj procezoj kaj cikloj multfoje tre demonstrata kaj trafa. Oni povas tiamaniere tre simple bildigi alkondukitan kaj forkondukitan varmojn. La rilatoj kunigitaj kun la fundamentaj stataj grandoj estas ankaŭ relative simple bildigeblaj, precie la absoluta temperaturo. Ĝi ja estas unu el du koordinatoj.
[[Dosiero:T-s_diagramo.GIF]]
::<math>dq = Tds\,</math>
La areo sub la kurbo ĝis al la koordinato s prezentas la alkondukitan aŭ forkondukitan varmon
|-
::<math>ds = \frac{dq}{T}\,</math>
::<math>dq = Tds\,</math>
::<math>d_{1,2} = \int_1^2 Tds\,</math>
[[Dosiero:T-s_alkonduk-forkonduk.GIF]]
Kiam estas ds > 0, tiam estas la alkondukita varmo +dq.
Kiam estas ds < 0, tiam estas la forkondukita varmo –dq.
El la T-s diagramo oni povas difini la varmefikecon de iu bildigita ciklo. La tute ĝeneralan laŭvolan ciklon oni bildigas jene:
[[Dosiero:T-s_generala_ciklo.GIF]]
::<math>\eta_t = \frac{q_1 - q_2}{q_1}\,</math>
::<math>\eta_t = \frac{a_0}{q_1}\,</math>
La varmefikeco de la ciklo estas difinita per la proporcio de areoj.
la areo: 1-I-2-2’-1’-1 = q<sub>1</sub> : la alkondukita varmo<br>
la areo: 2-II-1-1’-2’-2 = q<sub>2 </sub> : la forkondukita varmo<br>
la areo: 1-I-2-II-1 = a<sub>0</sub> = (q<sub>1</sub> – q<sub>2</sub>) : la varmo ŝanĝita en la laboron<br>
La plej grandan varmefikecon inter ĉiuj varmcikloj havas la ciklo de Carnot.
[[Dosiero:T-s_ciklo_de_Carnot.GIF]]
::<math>\eta_{tc} = \frac{a_0}{q_1}\,</math>
::<math>\eta_{tc} = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1} \,</math>
la areo1-2-a-b-1= q<sub>1</sub>la alkondukita varmo
la areo3-4-b-a-3= q<sub>2</sub> : la forkondukita varmo
la areo 1-2-3-4-1= a<sub>0</sub> la gajnita laboron
[[Dosiero:La_varmefikeco_de_la_ciklo_de Carnot.GIF]]
La varmefikeco de la ciklo de Carnot<br>
kun konstanta temperaturo t’<sub>2</sub> = 27 °C, t’’<sub>2</sub> = 7 °C
{|{{prettytable}}
|-
|T<sub>1</sub>°C ||T<sub>1</sub>°K ||T’<sub>2</sub>/T<sub>1<sub> ||T”<sub>2</sub>/T<sub>1</sub> ||1-(T’<sub>2</sub>/T<sub>1</sub>) ||1-(T”<sub>2</sub>/T<sub>1</sub>)
|-
|100 ||373|| 0,805 ||0,750 ||0,195 ||0,250
|-
|200 ||473 ||0,635 ||0,592 ||0,365 ||0,408
|-
|300 ||573 ||0,525 ||0,488 ||0,475 ||0,512
|-
|400 ||673 ||0,445 ||0,416 ||0,535 ||0,584
|-
|500 ||773 ||0,388 ||0,362 ||0,612 ||0,638
|-
|600 ||873 ||0,344 ||0,321 ||0,656 ||0,679
|-
|700 ||973 ||0,308 ||0,288 ||0,692 ||0,712
|-
|800 ||1073 ||0,279 ||0,260 ||0,721 ||0,740
|-
|900 ||1173 ||0,255 ||0,238 ||0,745 ||0,762
|-
|1000 ||1273 ||0,236 ||0,220 ||0,764 ||0,780
|-
|1100 ||1373 ||0,218 ||0,203 ||0,782 ||0,797
|-
|1200 ||1473 ||0,203 ||0,190 ||0,797 ||0,810
|-
|1300 ||1573 ||0,191 ||0,177 ||0,809 ||0,823
|-
|1400 ||1673 ||0,179 ||0,167 ||0,821 ||0,833
|-
|1500 ||1773 ||0,169 ||0,158 ||0,831 ||0,842
|}
La T-s diagramo klare montras, kiel la temperaturdiferenco kaj la alteco de ambaŭ absolutaj temperaturoj influas la varmefikecon. La ciklo de Carnot povas teorie atingi la plenan centprocentan efikecon de la varmŝanĝogo en la laboron laŭ la ekvacio:
::<math>\eta_{tc} = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1} \,</math>
nur se estus plenumitaj ĉi tiuj du kondiĉoj:
1) <math>T_1 = \infty \,</math>
aŭ
2) <math>T_2 = 0\,</math>
Tio signifas, ke oni ĉi tiun kazon ne povas prepari. Ĝi estas tute ne atingebla. Ekzemple la varmefikeco de la vaporturbino estas limigita eĉ per la enirtemperaturo, eĉ per la elirtemperaturo de la laborvaporo. La elirtemperaturon limigas la temperaturo de la malvarmiganta akvo. La enirtemperaturo ne devas esti pli alta ol permesas la materiala firmeco. La diagramo supre montras la kreskon de la varmefikeco de la ideala ciklo de Carnot. La elirtemperaturo estas konstanta kaj en du variantoj t’2 = 27 oC, t’’2 = 7 oC. La elirtemperaturo t1 kreskas depende de la varmefikeco.
Oni devas nur konstati, ke eĉ la varmefikeco de la ciklo de Carnot inter la temperaturoj atingeblaj per la vaporturbino estas tre modesta. Ĝi estas dum la enirtemperaturo de 500 oC nur iom pli ol 60% . Kaj 70% ĝi atingus ĝis pasinte 700 oC. Bedaŭrinde la malsupra temperaturo T2 limigas la varmeluzon por laboro laŭ la dua termodinamika teoremo. La pli bonan varmeluzon permesus nur materialoj havantaj bonajn konstruajn ecojn dum altegaj temperaturoj.
Ĉiu alia ciklo efektiviganta inter du samaj temperaturoj T1,T2 kaj realiganta la saman laboron havas ĉiam pli malgrandan varmefikecon ol la ciklo de Carnot, ĉar la alkondukita varmmulto q1 estos por la egala laboro a0 pli granda.
Alkondukitaj varmoj:
q<sub>1c </sub>– areo 1-2-a-b-1– por la ciklo de Carnot<br>
q<sub>1ĝ </sub>– areo A-B-C-D-A por ĝenerala ciklo
[[Dosiero:T-s_ciklo_de_Carnot_kaj_generala.GIF]]
η<sub>tc</sub> – la varmefikeco de la ciklo de Carnot<br>
η<sub>tĝ </sub>– la varmefikeco por la ĝenerala ciklo
La ciklo de Carnot estas el ĉiuj cikloj la plej ekonomia kaj tial ĝi servas por la komparo kun aliaj cikloj kiel la fundamenta mezurilo.
<b>La dependeco de la entropio laŭ la fundamentaj stataj grandoj por la ideala gaso</b>
Por la grafika bildigo de la termodinamikaj ŝanĝiĝas en T-s diagramo necesas koni la rilatojn inter unuopaj fundamentaj stataj grandoj kaj la entropio por povi difini la tendencon de iliaj kurboj en la diagramo.
La dependeco de la entropio ŝanĝiĝo laŭ la ĝenerale esprimita kiel la funkcio:
(102c)
::<math>S = \phi_3(v,T)\,</math>
Oni difinas ĉi tiun rilaton el la ekvacio por la entropio:
El la stata ekvacio validas:
::<math>\frac{p}{T} = \frac{r}{v} \,</math>
::<math>c_v = konst\,</math>
Plue:
::<math>ds = \frac{dq}{T} \,</math>
::<math>ds = \frac{c_vdT-pdv}{T} \,</math>
::<math>ds = c_v \frac{dT }{T} + \frac{pdv }{T} \,</math>
(107)
::<math>ds = c_v \frac{dT }{T} + r\frac{dv }{v} \,</math>
::<math>s = c_v \ln T + r\ln v +s_0 \,</math>
(107a)
::<math>s_2 -s_1 = c_v \ln \frac{T_2}{T_1} + r\ln v +s_0 \,</math>
La dependeco de la entropia ŝanĝiĝo laŭ la absoluta temperaturo kaj premo estas ĝenerale esprimita kiel la funkcio:
(102b)
::<math>s = \phi_2(p,T) \,</math>
Oni difinas ĉi tiun rilaton el la ekvacio (107) anstataŭigante tie por dv/v la esprimon el la diferenciita formo de la logaritmita stata ekvacio:
la stata ekvacio: <math> pv = rT \,</math>
post la logaritmado:
<math> \ln p + \ln v = \ln r + \ln T \,</math>
(108)
post la derivado:
<math> \frac{dv}{v} = \frac{dT}{T}+ \frac{dp}{p} \,</math>
Anstataŭgita parton de la (108), la (107) estos:
<math>ds = c_v \frac{dT}{T} + r \frac{dv}{v} \,</math>
::::::<math>ds = c_v \frac{dT}{T} + r(\frac{dT}{T}\frac{dp}{p} ) \,</math>
---
<math> (c_v + r) = c_p \,</math>
<math> c_p = konst \,</math>
---
:::::<math>ds = (c_v + r)\frac{dT}{T} - r \frac{dp}{p} \,</math>
(109)
:::::<math>ds = c_p\frac{dT}{T} - r \frac{dp}{p} \,</math>
---
::<math>s = c_p \ln T - r\ln p +s_0 \,</math>
(109a)
::<math>s_2 - s_1 = c_p \ln \frac{T_2}{T_1} - r\ln \frac{p2_2}{p_1} \,</math>
La dependeco de la entropia ŝanĝiĝo laŭ la premo kaj specifa volumeno estas ĝenerale esprimita kiel la funkcio:
(102a)
::<math>s= \phi_1(p,v) \,</math>
Oni difinas ĉi tiun rilaton el la ekvacio (107) anstataŭigante tie por dT/T la esprimon el la diferenciita formo de la logaritmita stata ekvacio.
El la ekvacio (108) validas:
<math>\frac{dT}{Tn} = \frac{dp}{p} + \frac{dv}{v} \,</math>
La ekvacio (107) estas: <math>ds = c_v \frac{dT}{T} + r \frac{dv}{v} \,</math>
::::::<math>ds = c_v \left(\frac{dp}{p} + (\frac{dv}{v}\right) + r\frac{dv}{v} ) \,</math>
---
<math> (c_v + r) = c_p \,</math>
<math> c_p = konst \,</math>
---
:::::<math>ds = (c_v + r)\frac{dv}{v} - c_v \frac{dp}{p} \,</math>
(110)
:::::<math>ds = c_p\frac{dv}{v} - c_v \frac{dp}{p} \,</math>
---
::<math>s = c_p \ln v - c_v\ln p +s_0 \,</math>
(110a)
::<math>s_2 - s_1 = c_p \ln \frac{v_2}{v_1} - c_v \ln \frac{p2_2}{p_1} \,</math>
=====La kurboj de la inversaj termodinamikaj procezoj por la ideala gaso en la T-s diagramo=====
<b>1) La izoterma procezo</b>
Por la izoterma procezo restas la absoluta temperaturo konstanta:
::<math> T = konst \,</math>
::<math> dT = 0 \,</math>
Por ekspliki la dependecojn de ĉi tiu procezo oni uzas la sekvajn du rilatojn:
::<math>s= \phi_2(p,T) \,</math>
::<math>ds = c_p \frac{dT}{T} + r \frac{dp}{p} \,</math>
::<math>ds = - r \frac{dp}{p} \,</math>
::<math>s_2 - s_1 = - r \ln \frac{p_2}{p_1} \,</math>
::<math>s_2 - s_1 = r \ln \frac{p_1}{p_2} \,</math>
kaj
::<math>s= \phi_3(v,T) \,</math>
::<math>ds = c_v \frac{dT}{T} + r \frac{dv}{v} \,</math>
::<math>ds = r \frac{dv}{v} \,</math>
::<math>s_2 - s_1 = r \ln \frac{v_1}{p_v} \,</math>
La valoroj de la entropio s estas esprimitaj en kJ/kg•deg.
La izotermoj bildiĝas en la T-s diagramo kiel paraleloj kun la akso x(s). Laŭ la ekvacioj kreskas la entropio dum la izoterma procezo en la logaritma dependeco de
::<math> - \frac{v_2}{v_1} \,</math>
aŭ
:::<math> \frac{p_1}{p_2} \,</math>
[[Dosiero:T-s_izoterma_procezo.GIF]]
::<math> T_1 = T_2 \,</math>
::<math> dq = Tds \,</math>
post la integrado:
::<math> q_{1,2} = T_1(s_2-s_1) \,</math>
Post la anstataŭigo por la entropio en ĉi tiun ekvacion oni ricevas la sekvan rezulton:
::<math> q_{1,2} = rT \ln \frac{p_1}{p_2} = rT \ln \frac{v_2}{v_1} \,</math>
<b>2) La izobara procezo</b>
Por la izobara procezo validas:
::<math> T = konst \,</math>
::<math> dT = 0 \,</math>
Difinante la dependecojn por la izobara procezo oni eliras de sekvaj du ĝenerale espromitaj rilatoj:
::<math>s= \phi_1(p,v) \,</math>
::<math>ds = c_p \frac{dv}{v} + c_v \frac{dp}{p} \,</math>
::<math>ds = c_p \frac{dv}{v} \,</math>
::<math>s_2 - s_1 = c_p \ln \frac{v_2}{v_1} \,</math>
kaj
::<math>s= \phi_2(p,T) \,</math>
::<math>ds = c_p \frac{dT}{T} - r \frac{dp}{p} \,</math>
::<math>ds = c_p \frac{dT}{T} \,</math>
::<math>s_2 - s_1 = c_p \ln \frac{dT}{T} \,</math>
Por la ideala gaso oni kompreneble konsideras, ke la specifa varmo dum la konstanta premo, dp = konst.
Dum ĉi tiuj kondiĉoj la entropio kreskas en la logaritma dependeco kun la kreskas de la proporcio:
::<math> \frac {T_2}{T_1} \,</math>
aŭ
::<math> \frac {v_2}{v_1} \,</math>
La izobaro estas en T-s diagramo la logaritma kurbo.
[[Dosiero:T-s_izobara_procezo.GIF]]
::<math> p = konst \,</math>
::<math>dq = Tds \,</math>
::<math>dq_{1,2} = \int_1^2 Tds \,</math>
La subtangento de iu ajn punkto de la izobaro estas c<sub>p</sub>, kiu estas konstanta por la ideala gaso.
::<math> c_p = T \left( \frac {\partial s}{\partial T}\right)_p \,</math>
::<math> c_p = konst \,</math>
Inter la tangento de la izobaro kaj la akso x(s) kuŝas La angulo α.
Por la alkondukita varmo validas la sekva ekvacio:
::<math> q_{1,2} = \int_1^2 Tds = \int_1^2 Tc_p \frac {dT}{T} = \int_1^2 c_p dT = c_p \int_1^2 dT \,</math>
::<math> q_{1,2} = c_p(T_2 - T_1) \,</math>
La areo 1-2-s2-s1-1 prezentas en la T-s diagramo la alkondukitan varmon q<sub>1,2</sub>.
<b>3) La izoĥora procezo</b>
Por la izoĥora procezo validas:
::<math> v = konst \,</math>
::<math> dv = 0 \,</math>
Difinante la dependecojn por la izoĥora procezo oni eliras de sekvaj du ĝenerale esprimitaj rilatoj:
::<math>s= \phi_1(p,v) \,</math>
::<math>ds = c_p \frac{dv}{v} + c_v \frac{dp}{p} \,</math>
::<math>ds = c_v \frac{dp}{p} \,</math>
::<math>s_2 - s_1 = c_v \ln \frac{p_2}{p_1} \,</math>
kaj
::<math>s= \phi_3(v,T) \,</math>
::<math>ds = c_v \frac{dT}{T} + r \frac{dv}{v} \,</math>
::<math>ds = c_v \frac{dT}{T} \,</math>
Por la ideala gaso oni kompreneble konsideras la specifan varmon dum la konstanta volumeno kiel konstanta, cv = konst.
Dum ĉi tiuj kondiĉoj la entropio kreskas en la logaritma dependeco kun la kresko de la proporcio:
::<math> \frac{T_2}{T_1} \,</math>
aŭ
::<math> \frac{p_2}{p_1} \,</math>
::<math> v = konst \,</math>
::<math> dq = Tds \,</math>
::<math> q_{1,2} = \int_1^2 Tds \,</math>
La izoĥoro estas en la T-s diagramo la logaritma kurbo.
[[Dosiero:T-s_izohora_procezo.GIF]]
La subtangento de iu ajn punkto de la izoĥoro estas c<sub>v</sub>, kiu estas konstanta:
::<math> c_v = T \left( \frac {\partial s}{\partial T}\right)_v \,</math>
::<math> c_v = konst \,</math>
Inter la tangento de izoĥoro kaj la akso x(s) kuŝas la angulo α.
Por la alkondukita varmo validas la sekva ekvacio:
::<math> q_{1,2} = \int_1^2 Tds = \int_1^2 Tc_v \frac {dT}{T} = \int_1^2 c_v dT = c_v \int_1^2 dT \,</math>
::<math> q_{1,2} = c_v(T_2 - T_1) \,</math>
La izoĥoroj estas en la T-s diagramo pli krutaj ol la izobaroj, ĉar estas cp > cr. Kiam oni bildigas la reton de la izobaroj kaj izoĥoroj en la sistemo de T-s koordinatoj oni ricevas entropian diagramon (aŭ alie – T-s diagramon).
[[Dosiero:T-s_izohoro_kaj_izobaro.GIF]]
Kiam oni prenas kiel elirpunkton kiun ajn punkton 1 sur la temperaturo T1, tiam post la plialtigo de temperaturo ekestas klare rimarkebla diferenco inter la entropioj sur la temperaturnivelo T2 kauzita per la malsama tendenco de izoĥoroj kaj izobaroj.
Ĉi tiun diferencon a-b de la T-s diagramo oni esprimas matemaike jene:
::<math> ab = \Delta s_p - \Delta s_v = c_p \ln \frac{T_2}{T_1} - c_v \ln \frac{T_2}{T_1} \,</math>
::<math> ab = r \ln \frac{T_2}{T_1} \,</math>
Δs<sub>p</sub> – la diferenco de entropioj poet la plialtigo de temperaturoj dum la konstanta premo
Δs<sub>v</sub> – la diferenco de entropioj post la plialtigo de temperaturoj dum la konstanta volumeno
<b>4) La adiabata procezo</b>
Por la adiabata procezo validas:
::<math> q = konst \,</math>
::<math> dq = 0 \,</math>
::<math> ds = \frac{dq}{T} \,</math>
::<math> s = konst \,</math>
::<math> s_1 = s_2 \,</math>
[[Dosiero:T-s_adiabata_procezo.GIF]]
Dum la adiabata procezo de la ideala gaso la entropio ne ŝanĝiĝas. Tial oni ankaŭ iam noms ĉi tia procezon – la izotropia aŭ samentropia. En la T-s diagramo oni bildigas la adiabatan kiel vertikalon de la akso x(s). La ekspansio celas malsupren kaj la kunpremo supren.
<b>5) La polipropa procezo</b>
Por la polipropa procezo validas:
::<math> dq = c_ndT = Tds \,</math>
c<sub>n</sub> – la specifa varmo de la politropo
::<math> c_n = c_v^{\frac{n-\kappa }{n-1}} \,</math>
::<math> \kappa = \frac{c_p}{c_v} \,</math>
::<math> dq = Tds \,</math>
::<math> q_{1,2} = \int_1^2 Tds \,</math>
[[Dosiero:T-s_polipropa_procezo.GIF]]
Oni uzas la ekvacion de la alkondukita varmo por la ekspliko de rilatoj inter la entropio kaj la fundamentaj grandoj.
::<math> ds = c_n \frac {dT}{T} \,</math>
::<math> s_2 - s_1 = c_n \ln \frac{T_2}{T_1} \,</math>
::<math> s_2 - s_1 = c_v \frac{n-\kappa }{n-1}\ln \frac{T_2}{T_1} \,</math>
En la T-s diagramo ankaŭ la specifa varmo de la politropo cn estas la subtangento ppor la tangento de la politropo en ĝia laŭvole elektita punkto. La politropo en la disetendo 1 < n < κ havas cn la negativan valoron. La angulo α estas malfermita en la direkto al la kurbo 1-2-a-b-1 prezentas la varmon, kiu estas alkondukita dum la ekspansio:
::<math> q_{1,2} = \int_1^2 Tds = \int_1^2 Tc_n\frac{dT}{T} = \int_1^2 c_n dT = c_n\int_1^2 dT \,</math>
::<math> q_{1,2} = c_n(T_2 - T_1) \,</math>
Memkompreneble, oni konsideras la specifajn varmojn cp, cv kaj cn por la ideala gaso, kiel konstantoj. Ĉi tiuj grandoj por la ralalaj gasoj dependas de la temperaturo.
Kompletan supervidon de la tendencoj de unuopaj procezkurboj en la T-s diagramo plej bone donas la aro de ĉiuj kurboj elirantaj en unu punkto.
[[Dosiero:T-s_procezkurboj.GIF]]
Daŭrigo: http://eo.wikibooks.org/wiki/Termodinamiko4[[http://eo.wikibooks.org/wiki/Termodinamiko4]]
Plue: http://eo.wikibooks.org/wiki/Termodinamiko5[[http://eo.wikibooks.org/wiki/Termodinamiko5]]
=== Statŝanĝado ĉe idealaj gasoj ===
| 