Fundamentoj de lineara algebro/p. 04

1 Enkonduko

En lernejoj oni instruas, ke vektoro estas “io, kio havas direkton kaj longon”. Oni imagas la vektorojn kiel sagojn. En la universitatnivela matematiko oni uzas alian, pli abstraktan difinon: Vektoro estas elemento de vektorspaco. Kompreneble per tio la problemo difini vektoron reduktiĝis nur je la problemo difini vektorspacon. Montriĝas, ke tiu ĉi difino fakte signifas, ke vektoroj estas matematikaj objektoj, kiuj lige kun du operacioj, la adicio kaj la multipliko per “skalaroj”, plenumas certajn regulojn, kiujn oni nomas “aksiomoj”. Nur en kelkaj tre specialaj kazoj oni vere povas imagi la vektorojn kiel sagojn.

La malfacilaĵoj de multaj studentoj kompreni lekcion pri lineara algebro rezultas el la granda abstrakteco kaj ĝeneraleco de ĝiaj difinoj kaj teoremoj. Oni ne tuj vidas la sencon starigi tian abstraktan teorion, kaj tio malpliigas la emon kompreni ĝin. Studkomencanto eble interesiĝas pri la solvoj de lineara ekvaciaro kun reelaj variabloj kaj koeficientoj, sed por tio malpli ĝenerala teorio sufiĉus. La plej multaj aliaj problemoj, pri kiuj okupiĝas la lineara algebro, aspektas iom artefarite. Ilia graveco montriĝos nur poste dum plua studado. Ekzemple vektoroj, kiujn oni ne povas imagi simple kiel sagojn, estas tre utilaj en la teorio de la Furieraj serioj. Tiu ĉi teorio pri la elvolvo de periodaj funkcioj laŭ la funkcioj sin $\scriptstyle kx$ kaj cos $\scriptstyle kx$ $\scriptstyle (k\in \mathbb {Z} )$ fariĝas esence pli eleganta kaj pli bone travidebla kiam oni konsideras “vektorspacon” de integreblaj funkcioj kaj aplikas rezultojn de la lineara algebro.

La leganto estas invitita simple kompreni la difinojn, rimarkojn, konkludojn, teoremojn kaj korolariojn, eĉ se li aŭ ŝi ankoraŭ ne plene komprenas, por kio tio utilas.

2 Aroj kaj bildigoj

2.1 Aroj

La fondinto de la aroteorio, Georg Cantor, klarigis aron kiel “kunigon de certaj distingitaj objektoj de nia percepto aŭ pensado al tutaĵo”. Pli preciza enkonduko de tiu ĉi termino ne estas bezonata en la lineara algebro.

Finiajn arojn ni povas skribi en la formo $X=\{x_{1},...,x_{n}\}$. La plej simpla ekzemplo de nefinia aro estas $\mathbb {N} =\{0,1,2,...\}$, la aro de la naturaj nombroj. Pliaj ekzemploj estas $\mathbb {Z} =\{0,1,-1,2,-2,...\}$, la aro de la entjeroj, kaj $\mathbb {Q} =\{{\frac {p}{q}}:p,q\in \mathbb {Z} \ \mathrm {kaj} \ q\not =0\}$, la aro de la racionalaj nombroj. La aron $\mathbb {R}$ de la reelaj nombroj la EK-vortaro de matematikaj terminoj enkondukas jene:

<<   4   >>