Kurso:Enkonduko en la logikon/ 3-a ĉapitro: Kalkuloj por la aserta logiko

Kiel oni povas ekscii, ĉu iu argumento formulita en aserta logiko estas valida aŭ ne? Ĉar en la aserta logiko la plej malgrandaj eroj estas la bazaj asertoj esprimitaj per grandliteroj (A, B, C ktp), kaj oni ne antaŭsupozas ion pri la signifo de tiuj bazaj asertoj, la valideco de argumentoj dependas nur de tio, kiel oni uzis la simbolojn "¬", "∧", "∨" kaj "→" por konstrui la asertojn en la argumentoj el la bazaj asertoj.

Ni konsideru iujn ekzemplojn: La argumento "(A∨B). ¬A. Do B" estas klare valida, ĉar se oni scias ke aŭ A aŭ B veras, kaj ke A malveras, oni povas konkludi ke B veras. Aliflanke, la valideco de "¬(¬A∨¬B). Do (A∧B)" estas pli malfacile videbla. Oni povas certiĝi pri ĝi per jena argumento:

Ni supozu ke veras ¬(¬A∨¬B). Tiam ne veras ke (¬A∨¬B), do ne veras ke minimume unu el ¬A kaj ¬B veras, do neniu el la du veras. Ĉar ¬A ne veras, A veras. Simile, ĉar ¬B ne veras, B veras. Do veras (A∧B).

Tiu metodo de argumentado tamen baldaŭ iĝas malfacile sekvebla kaj necesigas multon skribi, do estas konvene havi formalan sistemon por pruvi la validecon de argumentoj.

Metodo de verotabeloj

Oni povas uzi metodon baziĝantan sur la vertabeloj por ekscii pri la valideco de iu argumento: Por tio, oni kreas tabelon, kiu enhavas unu kolumnon por ĉiu baza aserto (grandlitero) uzata en la argumento, kaj por ĉiu senchava kombino de grandliteroj aperanta ie en la argumento (ĉu kiel tuta aserto aŭ nur kiel parto de aserto). Ĉiu vico de la tabelo reprezentas unu kombinon de eblaj verovaloroj por la bazaj asertoj. Do devas entute esti tiom da vicoj kiom estas eblaj verovaloroj por la bazaj asertoj. Oni povas facile kalkuli ke se estas n malsamaj bazaj asertoj (grandliteroj) en la argumento, tiam estas 2ⁿ eblaj kombinoj de verovaloroj por ili, do devas esti 2ⁿ vicoj. En ĉiu vico, oni do havas iun kombinon de vervaloroj de la bazaj asertoj: Poste oni uzas la suprajn vertabelojn de la simboloj "¬", "∧", "∨" kaj "→" por kalkuli la vervalorojn de la kombinoj de tiuj bazaj asertoj (komencante de la pli simplaj kaj irante al la pli komplikaj). Por la supre menciita argumento "¬(¬A∨¬B). Do (A∧B)", la vertabelo aspektas jene:

A	B	¬A	¬B	(¬A∨¬B)	¬(¬A∨¬B)	(A∧B)
V	V	M	M	M	V	V
V	M	M	V	V	M	M
M	V	V	M	V	M	M
M	M	V	V	V	M	M

Ĉi tie oni komencas kun la verovaloroj fiksitaj en la unuaj du kolumnoj, do per la reprezento de la kvar eblaj kombinoj de vervaloroj de A kaj B. Poste oni plenigas la trian kolumnon uzante la unuan kolumnon kaj la verotabelon de "¬" (do simple per inversigo de la verovaloroj de la unua kolumno). Simile oni plenigas la kvaran kolumnon inversigante la verovalorojn de la dua kolumno. La kvinan kolumnon eblas plenigi per la tria kaj la kvara kolumno, kaj la verotabelo de "∨". La sesa kolumno entenas inversigojn de la valoroj en la kvina kolumno, kaj la sepa kolumno estas kreita per la valoroj en la unuaj du kolumnoj kaj la verotabelo de "∧".

Kiel oni nun povas scii, ke la argumento estas valida? Por tio oni rigardu nun nur la kolumnojn, kiuj reprezentas asertojn faritajn en la argumento (ĉu antaŭxkondiĉon aŭ ĉu konkludon), do la lastajn du kolumnojn. Ĉiu vico, kiu havas la valoron "V" en ĉiu kolumno de la antaŭkondiĉo devas ankaŭ havi la valoron "V" en la kolumno de la konkludo. Do ĉi-kaze, ĉiu vico kiu havas "V" en la antaŭlasta kolumno devas ankaŭ havi "V" en la lasta kolumno. Ĉar nur la unua linio havas "V" en la antaŭlasta kolumno, kaj ĝi ankaŭ havas "V" en la lasta kolumno, la argumento estas valida.

Pro la difino de valideco estas klare ke ĉi tiu metodo ĉiam donas la ĝustan rezulton: Memoru ke argumento estas valida se ĝia konkludo ne povas esti malvera, kiam la antaŭkondiĉoj estas veraj. Ĉar la vicoj reprezentas ĉiujn eblajn verovalorojn de la bazaj asertoj, el kiuj konsistas la antaŭkondiĉoj, la vicoj reprezentas ĉiujn eblojn kiuj ekzistas el la vidpunkto de la aserta logiko. Do se ĉiuj vicoj, kiuj havas "V" ĉe ĉiu antaŭkondiĉo ankaŭ havas "V" ĉe la konkludo, tiam la konkludo ne povas esti malvera, kiam la antaŭsupozoj estas veraj, do la argumento estas valida.

Ekzerco 3-1

Kreu la verotabelon de la argumento "(A∨B). ¬A. Do B", kaj klarigu kial ĝi pruvas la validecon de la argumento.

• Rezulto

Logikaj kalkuloj

La ĵus prezentita metodo de verotabeloj tamen ankaŭ baldaŭ iĝas tro teda, ĉar ankaŭ ĝi necesigas multon skribi. Aldone, ĝi tute ne estas ĝeneraligebla al la predikata logiko, kiun mi prezentos en la sesa ĉapitro. Pli bona metodo por eltrovi ĉu argumento estas valida estas la diversaj logikaj kalkuloj.

Logikaj kalkuloj konsistas el rigoraj reguloj per kiuj eblas formale pruvi la validecon de argumentoj. La kvar plej kutimaj logikaj kalkuloj estas la arbokalkulo, la aksioma kalkulo, la natura deduktado kaj la sekvaĵokalkulo. En la arbokalkulo oni kreas certan arbon de logikaj asertoj por pruvi la validecon de argumento. La aksioma kalkulo baziĝas sur logikaj aksiomoj, kiuj estas bazaj logikaj nepraĵoj. La natura deduktado plej similas al la maniero, en kiuj homoj – kaj precipe matematikistoj – kutime argumentas. En la sekvaĵokalkulo oni pruvas la validecon de argumento per modifado de pli simplaj argumentoj.

Ekzistas bona Esperantlingva kurso pri natura dedukto sur alia retpaĝaro, kiun mi rekomendas al ĉiuj, kiuj interesiĝas pri ĝi. Ĉi tie mi koncentriĝos ĉefe pri la arbokalkulo, kaj iom skizos la aksioman kalkulon kaj la sekvaĵokalkulon.

Daŭrigu per la 4-a ĉapitro: Arbokalkulo por aserta logiko.