Kurso:Enkonduko en la logikon/ 2-a ĉapitro: La aserta logiko

Kelkaj aŭtoroj uzas "propozicia logiko" por tio, kion mi nomas "aserta logiko".

Simboloj

Logikistoj kutimas skribi asertojn en iu formala maniero. La plej simpla maniero tion fari estas skribi ĉiun bazan aserton per iu grandlitero, ekzemple "A", "B", "C", "Ĉ" ktp. Oni povas krei pli komplikajn asertojn kombinante la bazajn asertojn, ekzemple "A kaj B", "P se S", "F aŭ C", "ne veras ke Ĉ" ktp. En formala maniero oni kutime uzas simbolojn anstataŭ vortoj kaj esprimoj, kiuj kombinas asertojn aŭ ŝanĝas ilian logikan signifon. Tiuj simboloj havas precize difinitajn signifojn, sed proksimume oni povas diri ke

• "¬" signifas "ne veras ke"
• "∧" signifas "kaj"
• "∨" signifas "aŭ"
• "→" signifas "se ... tiam ..."

Verŝajne la lasta simbolo havas la signifon plej devojiĝantan de la menciita traduko: "A→B" formale simple signifas ke aŭ A estas malvera aŭ B estas vera. Kvankam ofte tiu aserto logike kondutas analoge al "Se A kaj B" (komparu ekzemple "Se ŝi ne estas en la librejo, ŝi estas en la ĝardeno" kaj "Ŝi estas en la librejo aŭ en la ĝardeno"), estas frazoj kiuj pruvas ke ili ne povas esti (ĉiam) samsignifaj: Ekzemple "Se Petro ne iĝos instruisto, li malĝojos" ne povas esti samsignifa al "Petro iĝos instruisto aŭ li malĝojos", ĉar la duan ni evitus kiam ni pensus pri la eblo ke Petro mortos antaŭ la eblo iĝi instruisto, dum la unuan ni tamen pretus aserti.

"A∧B" estas vera se kaj nur se ambaŭ A kaj B estas veraj. "∧" ne entenas la tempan signifon de "kaj". Do "ŝi falis ∧ ŝi vundis sin" diras nenion pri la tempa ordo de la du okazaĵoj.

"A∨B" estas vera se kaj nur se minimume unu el A kaj B estas vera. "∨" ĉiam permesas ankaŭ, ke ambaŭ partaj asertoj estas veraj (do "A∨B" veras ankaŭ kiam kaj A kaj B veras).

"¬A" estas vera se kaj nur se "A" estas malvera. "¬" tre bone kongruas kun la traduko "ne veras ke". Tamen ofte ankaŭ eblas simpligi la frazon kiu esprimu la aserton konstruitan kun "¬": "¬ Petro estas instruisto" povas esti tradukata kiel "Ne veras ke Petro estas instruisto", sed eblas tion simpligi al "Petro ne estas instruisto". "¬A" estas nomata la neo de A.

La ĉi-suprajn klarigojn pri la signifoj de "¬", "∧", "∨" kaj "→" ankaŭ eblas esprimi per tiel nomataj verotabeloj:

φ ¬φ V M M V

____

φ ψ φ ∧ ψ V V V V M M M V M M M M

____

φ ψ φ ∨ ψ V V V V M V M V V M M M

____

φ ψ φ → ψ V V V V M M M V V M M V

V estas mallongigo por "vera", M por "malvera".

La grekaj literoj ( φ, χ, ψ, ω, ...) estas uzataj por signi ajnan formulon en formala logika lingvo. Do dum ni parolas pri aserta logiko, ili signas ajnan senc-havan kombinon de grandliteroj (A, B, C, Ĉ, ...) kunigitaj per la logikaj simboloj "¬", "∧", "∨" kaj "→".

La duan vicon de la maldekstra tabelo eblas legi kiel "Se φ estas vera, ¬φ estas malvera". La trian vicon eblas legi kiel "Se φ estas malvera, ¬φ estas vera". Analoge eblas legi la unuopajn vicojn de la aliaj tabeloj.

Rimarko

Por eviti neklaraĵojn kiel "A∨B∧C", la formale plej simpla solvo estas ĉiam uzi krampojn, kiam oni kunigas du asertojn per "∧", "∨" aŭ "→", do ne skribi "A∨B" kaj "A∨B ∧C", sed "(A∨B)" kaj – depende de la intencita signifo – aŭ "((A∨B)∧C)" aŭ "(A∨(B∧C))". En duonformala skribo (foje uzota ankaŭ en ĉi tiu kurso) oni tamen ofte forlasas krampojn kiuj ne necesas por la ĝusta kompreno.

Ekzerco 2-1

"A" signifu "Fatimo manĝas", "B" signifu "ŝia edzo kuiras", "C" signifu "estas nokto" kaj "Ĉ" signifu "estas tago". Traduku la frazojn "Estas tago aŭ estas nokto" kaj "Se ŝia edzo kuiras kaj ne estas nokto, Fatima manĝas" al formuloj kun la literoj A, B, C kaj Ĉ.

• Rezulto

Argumentoj

Por esprimi ke argumento de la formo "φ. χ. ψ. ... Tial ω." estas valida, oni skribas

$\phi ,\chi ,\psi ,\dots \models \omega$

"φ, χ, ψ, ...╞ ω" do veras se ne eblas ke φ, χ, ψ ktp estas veraj kaj ω estas malvera. φ, χ, ψ ktp estas nomataj la antaŭkondiĉoj (aŭ premisoj), kaj ω la konkludo.

Se la argumento ne estas valida, oni skribas

$\phi ,\chi ,\psi ,\dots \not \models \omega$

Tio do signifas, ke ω povas esti malvera, eĉ se φ, χ, ψ ktp estas ĉiuj veraj.

Logika samvaloreco, logika nepraĵo, neeblaĵo kaj nenepra eblaĵo

Du asertoj A kaj B estas (logike) samvaloraj se A kaj B nepre havas la saman verovaloron, do aŭ ambaŭ estas veraj aŭ ambaŭ malveraj. Laŭ tiu difino, A kaj B estas logike samvaloroj precize kiam A╞ B kaj B╞ A.

Ekzemple A kaj ¬¬A estas logike samvaloraj, ĉar neo de neo samsignifas al la origina aserto. Jen kelkaj aliaj samvaloraj asertoj, kies samvalorecon la leganto kontrolu mem:

• (A∧B) kaj (B∧A)
• (A∨B) kaj (B∨A)
• ¬(A∧B) kaj (¬A∨¬B)
• ¬(A∨B) kaj (¬A∧¬B)
• (A→B) kaj (¬A∨B)
• (A→¬B) kaj ¬(A∧B)

Aserto kiu nepre estas vera nomiĝas (logika) nepraĵo. Aserto kiu nepre estas malvera nomiĝas (logika) neeblaĵo. Aserto kiu – el la vidpunkto de logiko – povas esti vera kaj povas esti malvera nomiĝas "nenepra eblaĵo".

Kompreneble ĉiu logika nepraĵo estas logika eblaĵo, kaj ĉiu logika neeblaĵo estas logika nenepraĵo. Facile videblas, ke neo de logika nepraĵo estas logika neeblaĵo, kaj neo de logika eblaĵo estas logika nenepraĵo.

Ekzerco 2-2

Kiuj el la jenaj formuloj esprimas logikan nepraĵon, kiuj esprimas neeblaĵon kaj kiuj nenepran eblaĵon?

1. (A∨¬A)
2. (¬A∧B)
3. ((A∧B)∧(¬A∨¬B))
4. ((A∨B)∨C)

• Rezulto

Daŭrigu per la 3-a ĉapitro: Kalkuloj por la aserta logiko.